Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD，BC=2AD,BC平行AD ，AD⊥DC

（1）证明：AC⊥PB
(2)求二面角C－PB－A的大小
求大家帮忙
麻烦写出详细步骤
谢谢

Answer 1

（1）做辅助线，过A点做AE∥CD交BC于E点
∵BC∥于AD，AE∥CD，AD⊥DC
∴四边形ADCE是矩形
∴AE⊥BC，AD=CE，AE=CD
∵BC=2AD
∴BE=CE=AD
∵AD=CD
∴BE=AE
∴∠ABC=45°
∵AD=CD,AD⊥CD
∴∠DAC=∠ACB=45°
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC
∵AP⊥底面ABCD
∴AP⊥AC
∴AC⊥面APB
∴AC⊥PB
（2）过A点做AF⊥PB交PB于F点，连结CF
∵AC⊥PB
∴PB⊥面ACF
∴CF⊥PB
∴∠CFA是面ABP和面CPB的二面角
∵AE=BE=AD=AP
∴AB=√2AP
∵AP⊥AB
∴PB²=AB²+AP²→PB=√3AP
AC=AB=√2AP
∵△PFA∽△PAB
∴AF/AB=AP/BP
∴AF=AB×AP/BP=√6AP/3
∵AC⊥面ABP
∴AC⊥AF
∴tg∠AFC=AC/AF=√3
∴∠AFC=60°
∴二面角C－PB－A的大小为60°