Question

求点P（4，5）关于直线 l:3x-y+3=0的对称点

要有详细过程及最后的结论答案,谢谢,回答清楚的追加奖分!

Answer 1

设对称点坐标为 Q(m,n)。连接PQ。
PQ与题目中直线垂直，可以列出一个方程。
PQ中点坐标在直线上，又列出一个方程。
解以上2元1次方程，推出Q点坐标(m,n）。过程如下：
--------------------------
直线l: y = 3x+3，其斜率为 3。因此PQ斜率为 -1/3
(n-5)/(m-4) = - 1/3
即 m-4 = 15 - 3n
m+3n = 19

PQ中点坐标为 [(4+m)/2, (5+n)/2]
该点在直线l上。所以
(5+n)/2 = 3*(4+m)/2 + 3
5+n = 12 + 3m + 6
n-3m = 13

联立
n-3m=13
m+3n=19

3m+9n=57

n -3m + 3m + 9n = 13 + 57
10n = 70
n = 7

m = 19 - 3n = -2

因此，所求对称点为 ( -2,7)

Answer 2

设对称点为Q（m,n）,则PQ连线与直线L垂直，所以有
[(5-n)/(4-m)]*3=-1,
另外P和Q到直线L的距离是相等的，所以
|3*4-5+3|/[根号下(3^2+(-1)^2)]=|3*m-n+3|/[根号下(3^2+(-1)^2)],
联立解二元一次方程组
m=-2，n=7