Question

第一题，急求！要过程！

Answer 1

(1)抛物线x^2=2py的焦点是Q(0,p/2)
设直线AB的方程是y=kx+p/2,代入抛物线中，
得x^2=2p(kx+p/2)
即x^2-2pkx-p^2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1x2=-p^2，y1y2=(x1x2)^2/(2p)^2=p^2/4
∵向量OA*向量OB=x1x2+y1y2=-3
∴-p^2+p^2/4=-3
∴p^2=4
∵p>0
∴p=2
抛物线C的方程是x^2=4y。
(2)假设存在直线AB，使得3/|PQ|是1/|PA|与1/|PB|的等差中项
即6/|PQ|=1/|PA|+1/|PB|
∵直线AB过点Q(0,1)
∴设直线AB方程为y=kx+1,A(x1,y1)，B(x2,y2)
将x=(y-1)/k代入x^2=4y中，得(y-1)^2/k^2=4y
即y^2-(2+4k^2)y+1=0
则有y1+y2=2+4k^2,y1y2=1
∵|PA|/|PQ|=y1/|QO|=y1，|PB|/|PQ|=y2/|QO|=y2
∴|PA|=y1|PQ|,|PB|=y2|PQ|
∴1/|PA|+1/|PB|=1/(y1|PQ|)+1/(y2|PQ|)
=(y1+y2)/(y1y2|PQ|)=(2+4k^2)/|PQ|=6/|PQ|
∴2+4k^2=6，k^2=1
∴k=±1
∴直线AB的方程是y=x+1或y=-x+1。

Answer 2

（Ⅰ）
依题意，可设点A、B的坐标分别为（m，m^2/（2p））、（n，n^2/（2p））。
得：向量OA·向量OB＝mn＋（mn）^2/（4p^2）＝－3。······①
显然，抛物线x^2＝2py的焦点F坐标为（0，p/2）。
∴AF的斜率＝［m^2/（2p）－p/2］/m、　　BF的斜率＝［n^2/（2p）－p/2］/n，
自然有：AF的斜率＝BF的斜率，∴［m^2/（2p）－p/2］/m＝［n^2/（2p）－p/2］/n，
∴n［m^2/（2p）－p/2］＝m［n^2/（2p）－p/2］，
∴n（m^2－np^2）＝m（n^2－mp^2），∴mn（m－n）＋（m－n）p^2＝0，
明显有：m、n不等，∴mn＝－p^2。······②
由①、②，得：－p^2＋p^4/（4p^2）＝－3，∴－p^2＋（1/4）p^2＝－3，
∴－4p^2＋p^2＝－12，∴－3p^2＝－12，∴p^2＝4，∴p＝2。
∴要求的抛物线C的方程是：x^2＝4y。

Answer 3

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