Question

求y=(sinx-1)/(cosx+2)的取值范围

谢谢

Answer 1

方法一：利用三角函数的有界性（结合辅助角公式）
ycosx+2y=sinx-1，sinx- ycosx=1+2y，
√(y²+1)sin(x+α) =1+2y，
sin(x+α) =(1+2 y)/√(y²+1)，
∵ |sin(x+α)|≤1
∴ |(1+2 y)/√(y²+1)| ≤1
-4/3≤y≤0.
∴ 函数值域为[-4/3,0].

方法二：利用几何意义求解
首先(cosx,sinx)在单位圆上，
因此原式等于(cosx, sinx)和(-2, 1)连线的斜率，
即求单位圆上一点和(-2,1)连线的斜率的取值范围。
画图图形，从(-2, 1)作圆的两条切线，两条切线分别为y=1和y=-4/3x-5/3,
斜率分别为0和-4/3,
所以函数值域为[-4/3,0].

Answer 2

比较巧妙的办法是利用几何意义解。
原式等于(cosx, sinx)和(-2, 1)连线的斜率，
所以就是单位圆上一点和(-2,1)连线的斜率的取值范围。