Question

如图，在RT三角形ABC中，∠ACB=90度，∠BCA=60度，DE垂直平分BC,垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上

且AF=CE，求证ACEF是菱形

Answer 1

∵DE⊥BC ，∠ACB=90°
∴DE∥AC ∠BAC=∠BED=∠FEA=60°
∵BD=DC DE∥AC
∴BE=EA
∴在Rt△ABC中CE=EA=BE
∵在△AEC中，∠BAC=60° CE=EA
∴△AEC为等边三角形，即CE=AC
∵在△AEF中，∠FEA=60° CE=EA=AF
∴△AEF为等边三角形，即FE=AF
∵在四边形ACEF中FE=AF=AC=CE
∴四边形ACEF为菱形

Answer 2

证明：
∵DE⊥BC ，∠ACB=90°
∴DE∥AC ∠BAC=∠BED=∠FEA=60°
∵BD=DC DE∥AC
∴BE=EA
∴在Rt△ABC中CE=EA=BE
∵在△AEC中，∠BAC=60° CE=EA
∴△AEC为等边三角形，即CE=AC
∵在△AEF中，∠FEA=60° CE=EA=AF
∴△AEF为等边三角形，即FE=AF
∵在四边形ACEF中FE=AF=AC=CE
∴四边形ACEF为菱形

Answer 3

证明：
∵DE⊥BC ，∠ACB=90°
∴DE∥AC ∠BAC=∠BED=∠FEA=60°
∵BD=DC DE∥AC
∴BE=EA
∴在Rt△ABC中CE=EA=BE
∵在△AEC中，∠BAC=60° CE=EA
∴△AEC为等边三角形，即CE=AC
∵在△AEF中，∠FEA=60° CE=EA=AF
∴△AEF为等边三角形，即FE=AF
∵在四边形ACEF中FE=AF=AC=CE
∴四边形ACEF为菱形