Question

求n阶行列式

|0 1 2 3 …… n-1|
|1 0 1 2 …… n-2|
|2 1 0 1 …… n-3|
……
|n-1 n-2 n-3 n-4 …… 0|

Answer 1

依次作: ri - r(i+1), i=1,2,...,n-1
-1 1 1...1
-1 -1 1...1
-1 -1 -1 ..1
...........
-1 -1 -1 ..1 (多写一行)
n-1 n-2 .. 0

ci + cn, i=1,2,...,n-1
0 2 2 2...1
0 0 2 2...1
0 0 0 2 ..1
...........
0 0 0...0 1
n-1 n-2 ..0

按第1列展开, 得 (-1)^(1+n) * (n-1)*
2 2 2...1
0 2 2...1
0 0 2 ..1
.........
0 0...0 1

上三角. 行列式 = (-1)^(1+n) * (n-1)*2^(n-2).

若没学到展开定理, 就将最后一行依次与上一行交换, 直交换到第一行即得上三角行列式

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Answer 2

依次作: ri - r(i+1), i=1,2,...,n-10

按第1列展开, 得 (-1)^(1+n) * (n-1)*
2 2 2...1
0 2 2...1
0 0 2 ..1

上三角. 行列式 = (-1)^(1+n) * (n-1)*2^(n-2).

若没学到展开定理, 就将最后一行依次与上一行交换, 直交换到第一行即得上三角行列式

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