Question

向量组的线性相关性问题

验证β1=2α1-α2,β2=α1+α2,β3=α1-3α2线性相关。

Answer 1

观察：β2 - β3＝4α2，β1 - 2β2＝-3α2
所以，3(β2 - β3)＋4(β1 - 2β2)＝0，即4β1-5β2-3β3＝0
所以，β1，β2，β3线性相关

Answer 2

由β1=2α1-α2,β2=α1+α2,β3=α1-3α2得
4β1-5β2-3β3=4(2α1-α2)-5(α1+α2)-3(α1-3α2)=0
由定义知β1，β2，β3线性相关。

Answer 3

考虑矩阵
2 1 1
-1 1 -3
0 0 0
用初等行变换化成
1 0 4/3
0 1 -5/3
0 0 0

所以 β3 = 4/3β1 - 5/3β2
所以 β1,β2,β3 线性相关.

证法二
(β1,β2,β3)=(a1+a2,3a2-a1,2a1-a2)A
其中 A =
1 -1 2
1 3 -1

r(β1,β2,β3) = r[(a1+a2,3a2-a1,2a1-a2)A] <= r(A) <=2
所以 β1,β2,β3线性相关

证法三.
因为 β1=a1+a2 β2=3a2-a1 β3=2a1-a2
所以 向量组 β1,β2,β3 可由向量组 a1,a2 线性表示
所以 r(β1,β2,β3 ) <= r(a1,a2 )
而 r(a1,a2) <= 2
所以 r(β1,β2,β3 ) <= 2
所以 r(β1,β2,β3 ) 线性相关.

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