Question

如图，在正方形ABCD中，M是边BC（不含端点B.C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点。

若∠AMN=90°，求证：AM=MN
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明
证明：在边AB上截取AE=MC,连接ME，正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE(请你完成余下的证明过程）
（2）如图（2）若将（1）中的正方形ABCD改为正三角形ABC，N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否成立？请说明理由
（3）若将（1）中的正方形ABCD改为正n边形ABCD····，请作出猜想： °时，结论AM=MN仍然成立（直接写答案）

Answer 1

直接证明⑶

设BAZY是正n边形相邻四个顶点，M∈AZ﹙但不是A,或者Z﹚

∠BMN＝∠BAZ, N∈∠YZE平分线上。

求证BM＝MN

证明：作NP∥YZ,则⊿BAM∽⊿MPN﹙AAA﹚,∠PNZ＝∠NZY＝∠NZP,∴PN＝PZ

设AB＝1,AM＝a,PN＝PZ＝b,有BA/AM＝MP/PN

即1/a＝﹙1-a+b﹚/b.   b＝a-a²+ab     ﹙b-a﹚﹙1-a﹚＝0,  a≠1 ﹙M不是Z﹚

 ∴a＝b  MP＝1＝BA

⊿BAM≌⊿MPN﹙asa﹚,  BM＝MN.

Answer 2

（1）由题中条件可得∠AEM=∠MCN=135°，再由两角夹一边即可判定三角形全等；
（2）还是利用两角夹一边证明其全等，证明方法同（1）．解答：解：（1）∵AE=MC，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠EMB=45°，
∴∠AEM=135°，
∵CN平分∠DCP，
∴∠PCN=45°，
∴∠AEM=∠MCN=135°
在△AEM和△MCN中：
∵ {∠AEM=∠MCNAE=MC∠EAM=∠CMN
∴△AEM≌△MCN，
∴AM=MN；

（2）仍然成立．
在边AB上截取AE=MC，连接ME，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACP=120°，
∵AE=MC，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠EMB=60°，
∴∠AEM=120°，
∵CN平分∠ACP，
∴∠PCN=60°，
∴∠AEM=∠MCN=120°，
∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM，
∴△AEM≌△MCN，
∴AM=MN．

Answer 3

（1）证明：∵AE=MC，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠EMB=45°，
∴∠AEM=135°，
∵CN平分∠DCP，
∴∠PCN=45°，
∴∠AEM=∠MCN=135°
由三角形外角的性质可知，∠AMP=∠ABM+∠EAM，即∠AMN+∠CMN=∠ABM+∠EAM，
∵∠AMN=∠ABM=90°，∴∠CMN=∠EAM，
在△AEM和△MCN中：
∵∠AEM=∠MCNAE=MC∠EAM=∠CMN​
∴△AEM≌△MCN，
∴AM=MN；

（2）结论：仍然成立．
证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACP=120°，
∵AE=MC，
∴BE=BM，
∴∠BEM=∠EMB=60°，
∴∠AEM=120°，
∵CN平分∠ACP，
∴∠PCN=60°，
∴∠AEM=∠MCN=120°，
∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM，
∴△AEM≌△MCN，
∴AM=MN．

Answer 4

第三题，(n-2)-180/n

Answer 5

第三问是
(n-2)n×180°