Question

2010年北京中考数学第25题第(2)问有多少种解法?

25、问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内一点，且AD=CD，BD=BA.探究∠DBC与∠ABC度数的比值.
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.
（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图.
观察图形，AB与AC的数量关系为________________；
当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为_________；
可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_______________.
（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.

请一一列出
谢谢谢谢谢谢
2010年北京中考数学第25题第(2)问有多少种解法?

Answer 1

（1）当∠BAC=90° 三角形为等腰直角三角形 AB=AC
∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为15° 比值为1:3
∠DAC=15°时，∠BAD=75 ∠BDA=75 ∠ABD=30 所以∠DBC=15°
（2）结论是肯定的
D点在三角形内有且只有一点，D在AC的垂直平分线上，D在以B为圆心 以AB为半径的圆上

Answer 2

2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同． 证明：如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK．
∵∠BAC¹=90°，∴四边形ABKC是等腰梯形，
∴CK=AB，∵DC=DA，∴∠DCA=∠DAC，∵∠KCA=∠BAC，
∴∠KCD=∠3，∴△KCD≌△BAD，∴∠2=∠4，KD=BD，∴KD=BD=BA=KC．
∵BK∥AC，∴∠ACB=∠6，
∵∠KCA=2∠ACB，∴∠5=∠ACB，∴∠5=∠6，∴KC=KB，∴KD=BD=KB，∴∠KBD=60°，
∵∠ACB=∠6=60°-∠1，∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1，
∵∠1+（60°-∠1）+（120°-2∠1）+∠2=180°，∴∠2=2∠1，∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．

追问

第(2)问有多少种解法??