Question

如图，三角形abc中，点o是ac边上的一个动点，过点o作直线mn....

如图，在三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN平行于BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F 。
问（1）求证：EO=FO（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论 。
要详细的过程和答案
不好意思 图传不了 。

Answer 1

证明：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，（2分）
同理，FO=CO，（3分）
∴EO=FO．（4分）

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．（5分）
∵EO=FO，点O是AC的中点．
∴四边形AECF是平行四边形，（6分）
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4= 12×180°=90°．
即∠ECF=90度，（7分）
∴四边形AECF是矩形．（8分）

Answer 2

解：（1）如图所示：作EG⊥BC，EJ⊥AC，FK⊥AC，FH⊥BF，
因为直线EC，CF分别平分∠ACB与∠ACD，所以EG=EJ，FK=FH，
在△EJO与△FKO中，
∠AOE=∠CON∠EJO=∠FKOEJ=FK
，
所以△EJO≌△FKO，即OE=OF（3分）
（2）当OA=OC，OE=OF时，四边形AECF是矩形，
证明：∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵直线MN与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA（△ABC的外角）的平分线相交于点F．
∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠FCD，
由∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠FCD=180°，
∴∠ECA+∠ACF=90°，即∠ECF=90°，
∴四边形AECF为矩形；（3分）
（3）由（2）可知，四边形AECF是矩形，要使其为正方形，再加上对角线垂直即可，即∠ACB=90°（10分）

Answer 3

(1)∵CE是∠BCA的平分线
∴∠BCE=∠ECO
∵BC // MN
∴∠BCE=∠CEO
∴∠CEO=∠ECO
∴OE=OC
同理可证，OF=OC
∴OE=OF
(2)因为，矩形的对角线交点必定是该矩形两对角线的中点。
所以，只需证明，点O运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形。
由①知，OE=OC，AO=CO
所以，AO=OE
所以，∠OAE=∠OEA，∠OEC=∠OCE
因为，△AEC内角和是180度。
所以，∠EAC+∠ECA+∠AEC=180度
所以，∠OEA+∠OEC+∠EAC+∠ECA=180度
所以，∠OEA+∠OEC=90度=∠EAC
同理可证，∠AFC=90度

因为，∠ECF=90度
所以，∠EAF=90度
所以，四边形AECF为矩形

Answer 4

证明：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，（2分）
同理，FO=CO，（3分）
∴EO=FO．（4分）

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．（5分）
∵EO=FO，点O是AC的中点．
∴四边形AECF是平行四边形，（6分）
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4= 12×180°=90°．
即∠ECF=90度，（7分）
∴四边形AECF是矩形．（8分）

Answer 5

证明：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，（2分）
同理，FO=CO，（3分）
∴EO=FO．（4分）

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．（5分）
∵EO=FO，点O是AC的中点．
∴四边形AECF是平行四边形，（6分）
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4= 12×180°=90°．
即∠ECF=90度，（7分）
∴四边形AECF是矩形．（8分