Question

初二几何证明题（有图）

如图，△ABC中，AB=AC，AB⊥AC，∠ACD=15°，D、E分别在AB、AC上，CD与BE交于F点，∠DEF=45°，求证BF=AC
对不起 打错了 是∠DFB=45°
初二几何题，尽量不要用相似或函数，要纯几何证明！

Answer 1

看了楼上几位，我想，用不着如此复杂。

作BC边上的高AH，交CD于G，

根据题意，显然∠ABG=∠GBE=∠EBC=15°；

∠BAG=∠BFG=45°；

所以⊿ABG≌⊿FBG，

所以BF=AB=AC ！

Answer 2

作角ABE平分线交AC于G，交DC于H,连接AH,

AB=AC,∠A=90°,∠ABC=∠ACB=45°,∠ACD=15°，

∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°-15°=30°,∠DFB=∠EFC=45°,

∠AEB=∠EFC+∠ACD=45°+15°=60°，∠ABE=30°，∠EBC=15°，∠ABG=∠EBG=15°，

∠GBC=∠EBG+∠EBC=15°+15°=30°=∠DCB,BH=CH,

取BC中点K,连接AK,HK,则AK⊥BC,HK⊥BC,则A,H,K三点共线，

AK平方,∠A，,∠HAB=45°=∠DFB,∠ABG=∠EBG,，∠AHB=∠FHB,

△ABH全等于△FBH，BF=BA=AC.

追问

这种方法也很好啊

Answer 3

证明：为了方便起见，设∠BAD=∠1、∠ACF=∠2、∠DEB=∠3、∠EAB=∠4、∠DCG=∠5、...如图。

因为：BD=AF,AB=AC,∠ABD=∠CAF=60°

所以：三角形ABD和三角形CAF全等。

所以：∠1=∠2，同时FC=AD.

由于：∠ABD=∠AED=60°

所以：AEBD四点共圆。

所以：∠1=∠3

因此有：∠1=∠2=∠3

由共圆还得：∠10=∠11=∠ABD=∠FAC=60°

因此：∠7=60°+∠3、∠6=60°+∠1、∠8=60°+∠2

所以：由∠7=∠8得ED平行FC

由于FC=AD=ED

所以：四边形EDCF是平行四边形。（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

Answer 4

纯几何证明：
在∠BAC内取一点G，使△ACG是等边三角形，连接BG。
则∠BCG=∠ACG-∠ACB=15°
而∠CBE=∠DFB-∠BCD=15°
所以∠BCG=∠CBE，BE平行于CG
等腰△ABG中，求得∠ABG=75°
则∠CBG=∠ABG-∠ABC=30°=∠BCD，所以CD平行于BG，
四边形BGCF是平行四边形，BF=CG=AC。

追问

真厉害啊
您能具体描述一下怎么做辅助线吗？就是做等边三角形ACG，您那种叙述有点牵强，有没有更好更具说服力的语言描述

追答

这个描述应该是可以的，因为可以通过尺规作图作出来。
你也可以从角的角度去描述，在∠BAC内作一个60度角∠CAG，然后在角的边AG上取固定长度线段AG=AC。
像这样类似的题目思路多是通过平移、旋转、对称等变换将诸多条件集中于一个点（本题的关键点就是那个平行四边形）。
但这个思路并不好想到那个关键点，还有一个猜想、证明的思路。在BE上取一点M，使BM=AB，猜想M和F是同一点，然后证明之。这个思路从思维过程上要简单得多，你可以试试。
再就是2楼的计算办法或三角函数的办法，麻烦一点但适用性广。
好了，就说这么多了。。。

Answer 5

【注】
纯几何证明，有一点难度。现在用计算方法证明。
仅仅给一个思路。
【证明】
【1】作FG⊥BC,点G为垂足。
在线段BG内，取点H,使得GC=GH.连接FH.
【2】不妨设FG=1，
易知，BH=HF=2，GH=CG=√3.
∴BC=2+2√3. BG=2+√3.
∴AC=(√2/2)BC=√2+√6.
【3】在Rt⊿BGF中，由勾股定理可得:
BF=√[BG²+FG²]=√[1+(2+√3) ²]
=√[8+4√3]= √[√2+√6] ²=√2+√6.
∴BF=AC.

追问

这种方法也不错

追答

自己画图吧。