Question

高中数学等差数列求和难题

1.有两个等差数列2，6，10，···，190及2，8，14，···，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和。
2.已知数列（an）是等差数列，sn是其前n项的和，求证S6，S12-S6，S18-S12也成等差数列。

Answer 1

1、第一个等差数列的公差是4，通项是4n-2，n从1到48取值。第二个等差数列的公差是6，通项是6m-4，m从1到34取值。
公共项为4n-2=6m-4，得m=(2n+1)/3。由1≤n≤48，得1≤(2n+1)/3≤97/3，所以m在1到32之间取值。同时因为2n+1是奇数，所以m只能取奇数：1、3、5、...、31。
所以两个数列有16个共同项，这些数还组成等差数列，公差是12，首项是2，所以新数列的各项之和是16×2＋16*15/2×12＝1472
2、设首项是a，公差是d，则S6＝6a+15d，S12＝12a+66d，S18＝18a+153d。S12-S6＝6a+51d，S18-S12＝6a+87d。
(S12-S6)-S6=36d，(S18-S12)-(S12-S6)＝36d，所以S6，S12-S6，S18-S12也成等差数列。

Answer 2

第一题，第一个数列公差是4，第二个数列公差是6，因此两个数列公共项的公差就是4和6的最小公倍数，即12

Answer 3

1,第一个等差数列的通项公式An=4n-2，第二个等差数列的通项公式Bn=6n-4。这两个数列的公共项4n-2=6m-4。2n-1=3m。3m是奇数，所以m只能取奇数。
所以这个新数列是Cn=6（2n-1）-4=12n-10。这个数列的前n项和Tn=（2+12n-10）n/2=6n、2 -4n

Answer 4

1，因为这个新数列是由原来的那两个等差数列构成 所以他的和等于原来两个数列和的和
总和=（2+190）×[（190-2）÷4+1]×1/2+(2﹢200)×[﹙200－2)÷6+1]×1/2=8042
2,证明：
设等差数列为A1=a A2=a+b An=a+（n﹣1)b
sn=[a+a+（n﹣1)b]×n/2=[2a﹢﹙n－1﹚b]×n/2
s6=﹙2a﹢5b﹚×3
s12－s6=(2a+11b)×6﹣(2a＋5b)x3=(2a+17b）×3
s18-s12＝(2a＋17b)×9-(2a+11b)×6=(2a＋29b)×3
(s12-s6)-s6=36b (s18-s12)-(s12-s6)=36b
(s12-s6)-s6=(s18-s12)-(s12-s6)=36b
所以S6，S12-S6，S18-S12也成等差数列。