Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8cm，点D为AB的中点

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8cm，点D为AB的中点，若直角∠MDN绕D旋转，分别交AC于E，交BC于F，则一列说法正确的有：①AE=CF，②EC+CF=4根号2，③DE=DF，④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值

Answer 1

上面正确说法全对（即：①AE=CF，②EC+CF=4根号2，③DE=DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值。）
连接CD， 由AC=CB，∠C=90°，所以∠B=∠A=45°；
CD也是AB的高、中线、∠ACB的平分线，所以CD⊥AB， ∠DCB=45°，CD=AD；
又因为∠CDE+∠ADE=90°，∠FDE=90°=∠FDC+∠CDE；所以 ∠CDF=∠ADE，
又因为：∠A=45°= ∠DCB，CD=AD；所以有△ADE≌△CDF，所以有：AE=CF，DE=DF；
（上述证完：①AE=CF，③DE=DF）
② EC+CF=CE+EA=AC，因为：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8cm，所以有：
AC^2+BC^2=AB^2，即：2 AC^2=AB^2，所以 AC=8/根号2=4根号2；
④若△ECF的面积为一个定值，即 DE*DF/2为一定值，又因为 DE=DF；所以 DE*DF=DE^2,
也为一定值，即DE为一定值；而△ECF为直角三角形，EF^2=DE^2+DF^2, 亦即：EF^2=2*DE^2,
EF=DE*根号2，由于DE为一定值；所以EF也为一定值。