Question

初三数学问题

在一次课题学习中活动中，老师提出了如下一个问题：
点P是正方形ABCD内的一点，过点P画直线l分别交正方形的两边于点M、N，使点P是线段MN的三等分点，这样的直线能够画几条？
经过思考，甲同学给出如下画法：
如图1，过点P画PE⊥AB于E，在EB上取点M，使EM=2EA，画直线MP交AD于N，则直线MN就是符合条件的直线l．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）甲同学的画法是否正确？请说明理由；
（2）在图1中，能否画出符合题目条件的直线？如果能，请直接在图1中画出；
（3）如图2，A1，C1分别是正方形ABCD的边AB、CD上的三等分点，且A1C1∥AD．当点P在线段A1C1上时，能否画出符合题目条件的直线？如果能，可以画出几条？
（4）如图3，正方形ABCD边界上的A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2都是所在边的三等分点．当点P在正方形ABCD内的不同位置时，试讨论，符合题目条件的直线l的条数的情况．
简单的画下第三第四问的图象就那个什么无数条的 简略的画下

Answer 1

（1）正确，但不全。
∵PE⊥AB，即PE∥AD
∴MP/MN=ME/MA=2/3
∴此时的P是MN的三等分点
但三等分点有两个的！即MP/MN=1/3和2/3的两种情况，甲漏了另一条
应该再同样的方法做PF⊥AD，再在FA上取N，使FN=2FA，从而得到另一条满足题意的MN
（2）如（1）已证，可以画出（注意应该有两条的）
（3）能，其实原理和（1）一样，这里只是更特殊了一点而已。
AD∥BC，且A1，C1分别是正方形ABCD的边AB、CD上的三等分点
∴由平行线分线段成比例定理可知，对于任意的在BC上的一点M，连接MP并延长交AD于N，所得的MN即为所求直线段（这么说应该不用图能懂了吧？因为上传图很慢……你要是一定要图的话，追问我好了）
∴能，无数条
（4）当P位于小正方形A0B0C0D0内（不含边）时，符合题意的I的条数为0；
当P位于A1C1，A2C2，B1D1，B2D2的任意一条上时，I有无数条；
当P位于其他位置时，I有2条

追问

画下 谢谢 还是不太理解

Answer 2

我认为yznfly回答的不错，图片确实不好传，按照他的叙述画一下就明白了。