Question

怎样手算开平方？？

Answer 1

呵呵，这样吧。。。
不等式法
以√6为例。稍加估算就知道 0<√6-2<1/2
三边平方得0< 10-4√6<1/4，此时10/4 >√6 > 10/4 -1/4/4，即2.5>√5>2.5-1/4/4
再平方，0<196-80√6<1/16，此时196/80 >√6 >196/80 -1/16/80即2.45√2 >2.449218
……每平方一次，小数点后的精确位数就乘2(灰色字是准确的数位），这是相当好的，可是你将要面对恐怖的天文数字。

另一种优化的方法: 佩尔方程与渐近分数结合
上面的方法虽然简单，可是数字大，而且算出来的不是渐近分数，如果用渐近分数能把计算过程中的数字减少一点。

以√5为例，考虑佩尔方程x^2-5y^2=1的所有正整数解（x,y)，x/y都是√5的渐近分数。
假设其中一组解是(x,y)，再设x'-√5y'=(x-√5y)n，同样地x'/y'也是√5的渐近分数。

上面两条结论的证明在此略去。根据上面结论，而且不难找到9^2-5*4^2=1，于是
(9-4√5)^2=161-72√5，√5约等于161/72=2.236111
(161-72√5)^2=51841-23184√5, √5约等于51841/23184=2.2360679779158

从连分数的性质可以估算出误差小于分母的平方的倒数。如上面的51841/23184，误差小于1/231842=1.8605×10^-9

但是这种方法的缺点是要解出佩尔方程。其实解佩尔方程x^2-dy^2=1不需要狂试数，把√d化成连分数。把二次根式展成连分数是挺容易的，在这里我不再作展开啦，有兴趣的话可以到网上找找看。

泰勒公式,跟牛顿二项式差不多,考虑函数x^(1/2),这里略。

迭代法
假设我们已经有一个较好的初值x,x²≈n,
设修正值为a,即(x+a)²≈n,x²+a²+2ax≈n,忽略很小的a²，即x²+2ax≈n，
从而a≈(n-x²)/(2x)，x+a≈(n+x²)/(2x)
把(n+x²)/(2x)的值从新代替x，将得到更好的精确值，下面证明0≤|( (n+x²)/(2x) )²-n| < |x²-n|

现在如果其中一个迭代值x>√n那么
(n/x +x)/2<(x²/x +x)/2 =x又
(n/x +x)/2≥√n （基本不等式）
于是迭代数列是有下界的递减数列，也就是结论了。

类似地，如果x<√n则n/x +x≥√n回到前一种情况，如果x很接近0，这时候结论可能会不成立，所以结论要修正一下-_-~~,但是得到新的迭代值后一齐正常，不影响迭代。可以说，对任何正数作初值依然能存在极限。
这极限自然是√n。

关于这个迭代法也有别的证明。
希望对你有帮助。。。

Answer 2

Answer 3