Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1 经过M（1,3/2），其离心率为1/2。求椭圆C的方程。

设直线l与椭圆C相交于A,B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点。求O道直线l距离的最小值

Answer 1

(1)椭圆C:x2/a2+y2/b2=1 经过M（1,3/2)代入得b^2+(9/4)a^2=a^2b^2　　①
离心率为1/2，c/a=1/2 ②
又a^2=b^2+c^2 ③
由①②③可得，a^2=4,b^2=3,c^2=1.
椭圆C的方程x^2/4+y^2/3=1④
(2)A(x1,y1),B (x2,y2),P(x0,y0)
当L垂直X轴时，若要构成平行四边形，且P在椭圆上，则L垂直平分长半轴，即x=1
此时，O到直线l的距离d=1
当L与x轴斜交时，设方程y=kx+m代入④中，整理得
(3+4k^2)x^2+8kmx+(4m^2-12)=0,Δ=64k^2m^2-4(3+4k^2)(4m^2-12)＞0,4k^2-m^2+3＞0⑤
x0=x1+x2=-8km/(3+4k^2),y0=y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)=6m/(3+4k^2)
P在椭圆上，代入方程中，整理得4m^2=4k^2+3经验证满足⑤
O到直线l的距离d=|m|/√(1+k^2)=√（k^2+3/4）/√(1+k^2)=√[1-1/4(k^2+1)]≥√(1-1/4)=√3/2
综上，O到直线l的距离d=√3/2

追问

x0=x1+x2为什么？

追答

根据向量的平行四边形法则，OP=OA+OB

Answer 2

（1）椭圆方程为x2/4+y2/3=1
（2)2分之根号3