Question

如何用matlab求exp(x^2)在1到2 的积分？

Answer 1

于无法求得exp(x^2)的原函数，我们只能用数值算法来求解，可以用复化梯形公式、Romberg公式、Gauss公式等，有好多种。我用Matlab编了一个用Gauss公式求解积分的函数。

function S=GaussIntegrate()
%运用Gauss求积公式计算数值积分

%f为被积函数，Rho为权函数，二者均为符号函数
x=sym('x');
f=exp(x^2);
Rho=1;

%a,b分别为求积区间的左界和右界
a=1;
b=2;

%n表示求积结点的个数，是一正整数
n=8;

%本程序利用线性变换将区间[a,b]变换到[-1.1]，
%同时令g=f*Rho为被积函数，然后利用
%古典的Gauss求积公式进行计算，此时直交多项式即为Legendre多项式

if n=0||n~=floor(n)
error('错误，n必须是一个非负整数！');
end;

if a>b
error('错误，区间的左界a一定不大于右界b！');
end;

%计算n次Legendre多项式
syms x;
P=1/(2^n*factorial(n))*diff((x^2-1)^n,n);
w=roots(sym2poly(P));

%计算数值积分
A=zeros(1,n);
S=0;
for k=1:n
A(k)=2/((1-w(k)^2)*(subs(diff(P),w(k))^2));

t=a+(b-a)/2*(w(k)+1);
g=(b-a)/2*subs(f*Rho,t);
S=S+A(k)*g;
end;

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我取了8个结点，计算精度就已经达到了小数点后8位，效率还是很高的。
注意：由于Matlab调用Maple的符号计算工具箱，第一次运行时会加载一小会，耐心等待。
以后再运行速度就很快了。