Question

已知：抛物线Y=ax^2+bx+c(a不为0）的对称轴为X=-1，与X轴交于A、B两点，与Y轴交于点C，其中A（-3，0）

已知：抛物线Y=ax^2+bx+c(a不为0）的对称轴为X=-1，与X轴交于A、B两点，与Y轴交于点C，其中A（-3，0）、C（0，-2）

（1）写出B点坐标
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得三角形PBC的周长最小，请求出点P的坐标。
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、C重合），过点D作DE//PC交X轴与点E，连接PD、PE，设CD的长为m，三角形PDE面积为S，求S与m之间的函数关系式。试说明S是否存在最大值，若存在请求出最大值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

思路一如下
1、由题意知A、B关于（-1，0）对称，故B点坐标为（1，0）

2、三角形PBC周长为PB+PC+BC,因BC长度固定，所以周长取决于PB+PC；
令：P坐标为（-1，y）；
令：Z1=PB^2=y^2+4；
令：Z2=PC^2=（y+2）＾2+1；
当Z1+Z2取最小值时,PB+PC为最小，即求y^2+4+（y+2）＾2+1的最小值，
即：2y^2+4y+9的最小值，
即当y=-1时最小，所以P点坐标为（-1，-1）。

3、由题意知：D坐标为（0，-2+m）
令DE所在直线与X=-1交于点Q（-1，m-1）；
当m>1时： S=S(PQD)-S(PQE)
当m<1时： S=S(PQD)+S(PQE)
S(PQD)=m/2
因DE所在直线表示为 y=-x-2+m，
所以E坐标为：(m-2,0)，
得：
当m>1时，S(PQE)= m* (m-2+1) /2
当m<1时，S(PQE)= -m* (m-2+1) /2
所以：S= m/2- m* (m-2+1) /2=（-m^2+2m）/2=[-(m-1)^2+1]/2
即当m=1时三角形面积最大。

(当Z1+Z2取最小值时,PB+PC为最小，需要分段讨论来论证）

思路二
2、将PB和PC看成是一根均匀的皮筋，当P点受到皮筋的拉力在垂直方向上的分力平衡时，皮筋收缩到最短，即点P（-1，y）的y值为【0，-2】的中点，即（-1，-1）

思路三
2、椭圆的切线是:x=-1，椭圆的两个焦点是B和C，求出该椭圆和切线x=-1的切点坐标即可。

思路四
2、等腰梯形对角线和上下底中线交点到端点的距离和最短。这个是准确的思路。

Answer 2

1
y=ax^2+bx+c
=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a
-b/2a=-1
b=2a
x1+x2=-b/a=-2
x1=-3,x2=1,B(1,0)
x1x2=c/a=-3
过C(0,-2),C=-2 a=2/3,b=4/3
y=2x^2/3+4x/3-2
2
P(-1,y)
PA+PB+BC=√(1+y^2)+√(1+(y+2)^2)+√5=√(1+y^2)+√(1+y^2+(4y+4))+√5
y=-1时，PA+PB+PC最小=2√2+√5
P(-1，-1)

3
PC直线：y+2=(-2+1)/1 x ,y=-2x-2
CD=m,D(0,-(2-m))
过D平行PC直线：y+2-m=-2x
y=0,x=(2-m)/2
D((2-m)/2,0)
|DE|=(2-m)√5
P垂直DE于Q，PQ：y+1=（-1)/(-2)(x+1) y=(x-1)/2
y+2-m=-2x
(x-1)/2+2-m+2x=0
5x=m-3/2
x=m/5-3/10
y=m/10-13/20
Q((m/5-3/10),(m/10-13/20)
|PQ|=√(m/5+7/10)^2+(m/10+7/20)^2=(m/10+7/20)√5
S=|PQ||DE|/2=(2-m)(m/10+7/20)5/2=(2-m)(2m+7)/8=(-2m^2+5m+14)/8=[-2(m-5/4)^2+14+25/8]/8
m=5/4时,S最大=[14+25/8]/8=137/64

Answer 3

太难了把。