Question

已知椭圆方程3x平方+4y平方=12，试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同点关于直线y=4x+m 对称

Answer 1

【解法一】
设椭圆上关于直线y=4x+m的两个对称点为A(x1,y1)和B(x2,y2),
设AB方程为x+4y+b=0与椭圆方程联立得：52y²+24by+3b²-12=0
由韦达定理可知：y1+y2=-24b/52=-6b/13,y1y2=(3b²-12)/52
设AB中点为M，则M点纵坐标(y1+y2)/2=-3b/13,
横坐标(x1+x2)/2=(-4y1-b-4y2-b)/2=-2(y1+y2)-b=12b/13 -b=-b/13
点M在直线y=4x+m上，所以(y1+y2)/2=4(x1+x2)/2 +m
m=-3b/13 +2b/13=-b/13
同时，要使一元二次方程52y²+24by+3b²-12=0有两相异实根
需要判别式大于零，△=(24b)²-4*52(3b²-12)>0,解得-2√13<b<2√13
所以m=-b/13∈(-2√13/13,2√13/13)

【解法二】
如果有这样的两点那么，两点的中点一定在椭圆内部，只要满足这个条件就行了。
设交点是A（x1,y1)B(x2,y2)中点坐标是（x中，y中）AB直线方程设为y=-1/4x+b
x1^2/4+y1^2/3=1①
x2^2/4+y2^2/3=1②
y1=-1/4x1+b③
y2=-1/4x2+b④
①-②，得
(x1-x2)(x1+x2)/4+（y1-y2)(y1+y2)/3=0
③-④，得
y1-y2=-1/4(x1-x2)把y1-y2整体代入上式，提取公因式（x1-x2)得
（x1-x2)（2x中/4+-1/4*2y中/3)=0
由于x1不等于x2,所以，
1/2 x中-1/6y中=0
又 y中=4x中+m
解得 x中=-m y中=-3m
x中^2/4 +y中^2/3<1
m^2<4/13
所以， -2√13/13<m<2√13/13

Answer 2

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