Question

求解第七题 需要详细过程 谢谢

Answer 1

分母泰勒展开
arcsin（x）＝x+1/6*x^3+3/40*x^5+5/112*x^7+35/1152*x^9+...
arctanx（x）＝x-1/3*x^3+1/5*x^5-1/7*x^7+1/9*x^9+...

所以分母等价于-1/2x^3

分子泰勒展开：
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+O(x^3)
所以考察exp(tanx)-exp(sinx)只需要考察相减后前几项即可
(这里函数exp(x)就是e^x)

tanx=x+x^3/3+O(x^3)
所以(tanx)^2=x^2+O(x^3) （只要将上式平方即可，发现除了x平方外，其他的项都是x的四次方或者更小，因此有这个式子，下面的类似）
(tanx)^3=x^3+O(x^3)
(tanx)^i 当i>3时是O(x^3)

sinx=x-x^3/6+O(x^3)
所以(sinx)^2=x^2+O(x^3)
(sinx)^3=x^3+O(x^3)
(sinx)^i 当i>3时是O(x^3)

于是exp(tanx)-exp(sinx)=tanx-sinx+(tanx)^2-(sinx)^2+(tanx)^3-(sinx)^3+O(x^3)
=x^3/2+O(x^3)

于是综上所述，上下相除后，原题答案是 -1