Question

大学数学多项式题 设f(x)=x^3+(1+t)x^2+2x+2u g(x)=x^3+tx+u的最

大学数学多项式题 设f(x)=x^3+(1+t)x^2+2x+2u g(x)=x^3+tx+u的最大公因式是一个二次多项式求tu的值

Answer 1

最大公因式包含了f(x),g(x)的所有不同的因式，只有两个（2次），说明f(x)、g(x)中，共有3x2=6个因式，设最大公因式是x²+bx+c，每个都有另外一个因式，他们不同
f(x)=(x+a)(x²+bx+c)=x³+(a+b)x²+(ab+c)x+ac=x^3+(1+t)x^2+2x+2u

g(x)=(x+d)(x²+bx+c)=x³+(d+b)x²+(db+c)x+dc=x^3+tx+u

a+b=1+t,ab+c=2,ac=2u
d+b=0,db+c=t,dc=u
6个方程，6个未知数，可解：
消去a，末2式相除，a=2d，代入：
a=2d；

2d+b=d+（d+b）=d=1+t；
2db+c=db+（db+c）=db+t=2；
d+b=0，db+c=t，dc=u
d=1+t代入，消去d：
d=1+t；

（1+t）b+t=2；
1+t+b=0；
（1+t）b+c=t；
（1+t）c=u；

b=-1-t，
b=(2-t)/(1+t)=-(1+t)
2-t=-(1+t)²，2-t=-t²-2t-1，t²+t+3=0，无实数解！