Question

已知圆的半径为√(10)，圆心在直线y=2x上，圆被直线x-y=0截得的弦长为4√(2)，求圆的方程

答案是
设M、N为y=2x与圆的交点，MN中点为H
因为圆心在直线y=2x上，所以可以设圆心的坐标为(m,2m)
用距离公式可以求出圆心离直线y=x的距离为
d=|2m-m|/√(1^2+1^2)=|m|/√(2)
连接圆心A与M点，圆的半径为√(10),所以AM=√(10),MN=√(2),
A到弦的距离为|m|√(2)
AM=AN，所以AH又为三角形AMN的高
用勾股定理得m^2/2+(2√(2))^2=(√(10))^2=10
m^2=4,m=2或-2
由图可以观察出图像关于原点对称，所以2和-2都可以，圆心的坐标为
(2,4)和(-2,-4)
圆的方程为(x-2)^2+(y-4)^2=10和(x+2)^2+(y+4)^2=10

请问d=|2m-m|/√(1^2+1^2)=|m|/√(2)
这是用的哪个公式？属于高中哪个知识点里面？

Answer 1

点到直线的距离公式：。

公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0,y0)

Answer 2

这是用的【点到直线的距离】公式：一点P（xp，yp)到直线 l ax+by+c=0 的距离
d=|a*xp+b*yp+c|/√(a^2+b^2)
此题中，xp=m、yp=2m、a=1、b=-1 、c=0 (y=x化为标准型为 x-y=0)
故有 d(距离)=|m-2m|/√(1^2+1^2)=|-m|/√2=|m|/√2
【其实，|m-2m|=|2m-m| ！（根据 |mn|=|m|*|n|，可推出：|m-2m|=|(-1)*(2m-m)|=|-1|*|2m-m|=|2m-m| 。）】
你硬要纠结于此，那就是你钻牛角尖了！

这应该属于高中《解析几何》学习了《两点间的距离公式》和 《直线方程》之后的【某种】《补充内容》吧（大纲要不要求，我不是老师，不敢乱说。）