Question

如图,在梯形ABCD中，CD平行AB，BE是∠ABC的平分线，BE⊥AD于E，且DE/AE=1/2，求S△ABC/S四边形BCDE?

Answer 1

解：

       延长AD、BC，相交于F点，过C作CG⊥AF，设S△BED=a

   ∵  BE是∠ABC的平分线，BE⊥AD于E

     ∴  ∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠BED=Rt∠

           根据全等三角形判定定理可得到：( “角边角”判定全等三角形)

             △AEB与△BEF为全等三角形

             AE=EF， S△AEB=S△BEF=2S△BED= S△AFB(1/2)

                                                        =2a

     又∵ DE/AE=1/2，

       AE=EF=2ED=ED+EF

                           ED=EF=AE×(1/2)=AF ×(1/4)

   ∵  CD//AB

   ∴  △AFB与 △DFC，

     △AFB与 △DFC高的比等于DF：AF=1：4

        S△AFB：S△DFC=1：16      又 ∵   S△BED=a

                                                                  S△AEB=S△BEF=2S△BED= S△AFB(1/2)

  ∴  S△AFB=4a，S△DFC=a×(1/4)

       S⠀BCDE=S△BEF-S△DFC

                     =2a-a×(1/4)

                     =a×(7/4)

∵ △ECD、△DCF、△ACE共高CG，ED=DF= AE×(1/2)

       根据等底等高三角形面积相等的原理可知道：

    S△DFC=S△CDE=S△AEC×(1/2)=S△AFC×(1/4)

    又∵ 已经求得S△DFC=a×(1/4)

                        a×(1/4)=S△AFC×(1/4)

       ∴        S△AFC=a

  又∵S△ABC=S△AFB-S△AFC；        S△AFB=4a            

        S△ABC =4a-a

                      =3a

  综上所述

     S△ABC：S⠀BCDE =3a：a×(7/4)

                                     =(12/4)：(7/4)

                                     =12：7

Answer 2

延长AD和BE交与G点。BE是∠ABC的平分线，BE⊥AD于E，AE=EG,,CD是三角形ABG的中线。
三角形CDG 的面积是三角形ABG的1/4:；三角形面积ABE=三角形面积BEG=1/2三角形面积ABG
DE/AE=1/2;AE=EG,AD=3/4AG.
三角形ABD的面积=3/4三角形ABG的面积=三角形ABC的面积
四边形BCDE的面积=三角形ABE面积-三角形CDG=(1/2-1/4)三角形ABG面积
S△ABC/S四边形BCDE=3/4:1/4=3