Question

急事！！！！！！高分悬赏，一道初二数学题在线等，题目如下，好的还有追加

http://wenwen.soso.com/z/q280676841.htm?sp=1170
各位大神夜游党们，加油做啊11：45之前作出来的还有100分的追加

Answer 1

结论②是对的。
证明它要用三角形角平分线定理，详见百科角平分线定理http://baike.baidu.com/view/276158.htm。
y=kx与y=(5-k)/x联立求交点B的坐标，B点横坐标为2，令kx=(5-k)/x,并把x=2代入其中得2k=(5-k)/2,
4k=5-k,5k=5,k=1,把k=1和x=2代入y=kx得B点纵坐标为2，所以B点坐标为(2,2),
B点在第一象限角平分线上，即在∠AOC平分线上，
△AOC的三条角平分线CQ、AP、OB交于一点I(内心)，
S△IAC/S四边形ACPQ=S△IAC/(S△IAC+S△ICP+S△IAQ+S△IPQ)
=1/[(S△IAC/S△IAC)+(S△ICP/S△IAC)+(S△IAQ/S△IAC)+(S△IPQ/S△IAC)],（1）
△ICP底边IP上的高与△IAC底边IA上的高相等，S△ICP/S△IAC=IP/IA,（2）
△IAQ底边IQ上的高与△IAC底边IC上的高相等，S△IAQ/S△IAC=IQ/IC,（3）
△IPQ与△IAC中，∠CIA=∠PIQ,sinCIA=sinPIQ
用三角形面积公式(参照百科-三角形-三角形的面积公式-(2))三角形面积=两边及夹角正弦之积的一半，S△IAC=(IA×IC×sinCIA)/2,S△IPQ=(IP×IQ×sinPIQ)/2,
S△IPQ/S△IAC=[(IP×IQ×sinPIQ)/2]/[(IA×IC×sinCIA)/2]=(IP×IQ)/(IA×IC)=(IP/IA)×(IQ/IC)，（4）
把（2）（3）（4）代入（1）得
S△IAC/S四边形ACPQ=1/{1+(IP/IA)+(IQ/IC)+[(IP/IA)×(IQ/IC)]}，（5）
由三角形角平分线定理得
IP/IA=OP/OA,IQ/IC=OQ/OC,将其代入（5）得
S△IAC/S四边形ACPQ=1/{1+(OP/OA)+(OQ/OC)+[(OP/OA)×(OQ/OC)]}，（6）
∠OAP=∠OAC/2,∠OCQ=∠OCA/2,
∠OAP+∠OCQ=∠OAC/2+∠OCA/2=(∠OAC+∠OCA)/2=90°/2=45°,
由锐角三角函数定义得，
OP/OA=tanOAP=tan(∠OAC/2),OQ/OC=tanOCQ=tan(∠OCA/2),将其代入（6）
得S△IAC/S四边形ACPQ=1/[1+tan(∠OAC/2)+tan(∠OCA/2)+(tan(∠OAC/2)tan(∠OCA/2)],（7）
由三角函数的和角公式得
tan(∠OAC/2+∠OCA/2)=[tan(∠OAC/2)+tan(∠OCA/2)]/[1-tan(∠OAC/2)tan(∠OCA/2)]=tan45°=1,
即tan(∠OAC/2)+tan(∠OCA/2)=1-tan(∠OAC/2)tan(∠OCA/2),
tan(∠OAC/2)+tan(∠OCA/2)+(tan(∠OAC/2)tan(∠OCA/2)=1,将其代入（7）得
S△IAC/S四边形ACPQ=1/(1+1)=1/2(为定值)
S△IAC/(△ICP+S△IAQ)=1/[(S△ICP/S△IAC)+(S△IAQ/S△IAC)+]=1/[IP/IA)+(IQ/IC)]
=1/[OP/OA)+(OQ/OC)]=1/[tan( ∠OAC/2) +tan(∠OCA/2)]
=1/{[sin(∠OAC/2)/cos(∠OAC/2)]+[sin(∠OCA/2)/cos(∠OCA/2)]}
=1/{[sin(∠OAC/2)cos(∠OCA/2)+cos(∠OAC/2)sin(∠OCA/2)]/[cos(∠OAC/2)cos(∠OCA/2)]}
=1/{[sin(∠OAC/2+∠OCA/2)]/[cos(∠OAC/2+∠OCA/2)+cos(∠OAC/2-∠OCA/2)]}
=1/{sin45°/[cos45°+cos(∠OAC/2+∠OCA/2-∠OCA)]}
=1/{sin45°/[cos45°+cos(45°-∠OCA)]}
=[cos45°+cos(45°-∠OCA)]/sin45°
=1+(√2)cos(45°-∠OCA)(不是定值，因为∠OCA是变化的)