一道高一数学练习题(属于 平面向量的数量积及运算律 范围内)
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当λ =0或a =0向量或 b =0向量时,(λ a )• b =0, λ (a • b ) =0, a • ( λ b ).=0,
(λ a )• b = λ (a • b ) = a • ( λ b ).成立
当λ ≠0且a ≠0向量或且b ≠0向量时,设a,b夹角为θ,
当λ >0时,λa 与a同向,则λa 与b的夹角=a与b的夹角=θ;λb 与b同向,则λb 与a的夹角=a与b的夹角=θ,
(λ a )• b =|λ a| |b|cosθ =|λ ||a| |b|cosθ =λ |a| |b|cosθ
λ (a • b ) = λ |a| |b|cosθ
a • ( λ b ).= |a| |λb|cosθ =|λ| |a| |b|cosθ =λ |a| |b|cosθ
(λ a )• b = λ (a • b ) = a • ( λ b ).成立
当λ <0时,λa 与a反向,则λa 与b的夹角=π-θ;λb 与b反向,则λb 与a的夹角=π-θ,
(λ a )• b =|λ a| |b|cos(π-θ)=|λ ||a| |b|(-cosθ )=(-λ) |a| |b|(-cosθ)=λ |a| |b|cosθ
λ (a • b ) = λ |a| |b|cosθ
a • ( λ b ).= |a| |λb|cos(π-θ) =|λ| |a| |b|(-cosθ) =(-λ )|a| |b|(-cosθ)= λ |a| |b|cosθ
(λ a )• b = λ (a • b ) = a • ( λ b ).成立
综上(λ a )• b = λ (a • b ) = a • ( λ b ).成立
(λ a )• b = λ (a • b ) = a • ( λ b ).成立
当λ ≠0且a ≠0向量或且b ≠0向量时,设a,b夹角为θ,
当λ >0时,λa 与a同向,则λa 与b的夹角=a与b的夹角=θ;λb 与b同向,则λb 与a的夹角=a与b的夹角=θ,
(λ a )• b =|λ a| |b|cosθ =|λ ||a| |b|cosθ =λ |a| |b|cosθ
λ (a • b ) = λ |a| |b|cosθ
a • ( λ b ).= |a| |λb|cosθ =|λ| |a| |b|cosθ =λ |a| |b|cosθ
(λ a )• b = λ (a • b ) = a • ( λ b ).成立
当λ <0时,λa 与a反向,则λa 与b的夹角=π-θ;λb 与b反向,则λb 与a的夹角=π-θ,
(λ a )• b =|λ a| |b|cos(π-θ)=|λ ||a| |b|(-cosθ )=(-λ) |a| |b|(-cosθ)=λ |a| |b|cosθ
λ (a • b ) = λ |a| |b|cosθ
a • ( λ b ).= |a| |λb|cos(π-θ) =|λ| |a| |b|(-cosθ) =(-λ )|a| |b|(-cosθ)= λ |a| |b|cosθ
(λ a )• b = λ (a • b ) = a • ( λ b ).成立
综上(λ a )• b = λ (a • b ) = a • ( λ b ).成立
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可以通过几何作图证明,或者坐标证明
用坐标来证明一下:
a=(x,y) b=(n,m) a • b=(x•n+y•m)
λa=(λ x,λ y) (λ a )• b=λ x•n+λy•m=λ(x•n+y•m)= λ (a • b )
用坐标来证明一下:
a=(x,y) b=(n,m) a • b=(x•n+y•m)
λa=(λ x,λ y) (λ a )• b=λ x•n+λy•m=λ(x•n+y•m)= λ (a • b )
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(Ya)b=(a+a+...+a)b=ab+ab+...+ab=Yab=a(b+b+...+b)=a(Yb)
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