Question

一道高一数学练习题（属于 平面向量的数量积及运算律 范围内）

求证：
（λ a ）• b ＝ λ （a • b ) ＝ a • ( λ b ).

Answer 1

当λ =0或a =0向量或 b =0向量时，（λ a ）• b ＝0， λ （a • b ) ＝0， a • ( λ b ).=0，
（λ a ）• b ＝ λ （a • b ) ＝ a • ( λ b ).成立
当λ ≠0且a ≠0向量或且b ≠0向量时，设a,b夹角为θ，
当λ >0时,λa 与a同向，则λa 与b的夹角=a与b的夹角=θ；λb 与b同向，则λb 与a的夹角=a与b的夹角=θ，
（λ a ）• b ＝|λ a| |b|cosθ ＝|λ ||a| |b|cosθ =λ |a| |b|cosθ
λ （a • b ) ＝ λ |a| |b|cosθ
a • ( λ b ).= |a| |λb|cosθ =|λ| |a| |b|cosθ =λ |a| |b|cosθ
（λ a ）• b ＝ λ （a • b ) ＝ a • ( λ b ).成立
当λ <0时,λa 与a反向，则λa 与b的夹角=π-θ；λb 与b反向，则λb 与a的夹角=π-θ，
（λ a ）• b ＝|λ a| |b|cos(π-θ)＝|λ ||a| |b|(-cosθ )=(-λ) |a| |b|(-cosθ)=λ |a| |b|cosθ
λ （a • b ) ＝ λ |a| |b|cosθ
a • ( λ b ).= |a| |λb|cos(π-θ) =|λ| |a| |b|(-cosθ) =(-λ )|a| |b|(-cosθ)= λ |a| |b|cosθ
（λ a ）• b ＝ λ （a • b ) ＝ a • ( λ b ).成立
综上（λ a ）• b ＝ λ （a • b ) ＝ a • ( λ b ).成立

Answer 2

可以通过几何作图证明，或者坐标证明
用坐标来证明一下：
a=(x,y) b=(n,m) a • b=(x•n+y•m)
λa=(λ x,λ y) （λ a ）• b=λ x•n+λy•m=λ(x•n+y•m)= λ （a • b )

Answer 3

(Ya)b=(a+a+...+a)b=ab+ab+...+ab=Yab=a(b+b+...+b)=a(Yb)