Question

已知数列(an)的各项均为正数，且Sn=1/2(an+1/an)，求an

Answer 1

n=1S1=a1=1 等式两边同乘以an，有方程an^2-2Sn*an+1=0；思路是找递推关系式，发现规律。解方程an=Sn-√Sn^2-1（Sn>an,所以舍去另一根）又an=Sn-S（n-1);得Sn^2-1=S(n-1)^2，带入已知移项(an+1/an)^2成等差数列。

Answer 2

猜想an=√n-√(n-1)
n=1时成立
假设n=k成立，有ak=√k-√(k-1)，Sk=(ak+1/ak)/2=√k
则n=k+1时，a(k+1)=S(k+1)-Sk=[a(k+1)+1/a(k+1)]/2-√k
解得a(k+1)=√(k+1)-√k，n=k+1也成立
所以，an=√n-√(n-1) 得证