Question

使用复化梯形公式计算积分，问应至少将区间 等分为多少份，才能使截断误差

Answer 1

于无法求得exp(x^2)的原函数，我们只能用数值算法来求解，可以用复化梯形公式、Romberg公式、Gauss公式等，有好多种。我用Matlab编了一个用Gauss公式求解积分的函数。functionS=GaussIntegrate()%运用Gauss求积公式计算数值积分%f为被积函数，Rho为权函数，二者均为符号函数x=sym('x');f=exp(x^2);Rho=1;%a,b分别为求积区间的左界和右界a=1;b=2;%n表示求积结点的个数，是一正整数n=8;%本程序利用线性变换将区间[a,b]变换到[-1.1]，%同时令g=f*Rho为被积函数，然后利用%古典的Gauss求积公式进行计算，此时直交多项式即为Legendre多项式ifn=0||n~=floor(n)error('错误，n必须是一个非负整数！');end;ifa>berror('错误，区间的左界a一定不大于右界b！');end;%计算n次Legendre多项式symsx;P=1/(2^n*factorial(n))*diff((x^2-1)^n,n);w=roots(sym2poly(P));%计算数值积分A=zeros(1,n);S=0;fork=1:nA(k)=2/((1-w(k)^2)*(subs(diff(P),w(k))^2));t=a+(b-a)/2*(w(k)+1);g=(b-a)/2*subs(f*Rho,t);S=S+A(k)*g;end;--------------------------------我取了8个结点，计算精度就已经达到了小数点后8位，效率还是很高的。注意：由于Matlab调用Maple的符号计算工具箱，第一次运行时会加载一小会，耐心等待。以后再运行速度就很快了。