Question

求通过点A=(3,0,0)和点B=(0,0,1)且与xoy坐标面成角60度的平面方程

Answer 1

平面的截距式方程为X/a+Y/b+Z/c=1,其中，a,b,c分别是平面α在X,Y,Z轴上的截距
则可设所求平面α的方程为X/3+Y/m+Z/1=1,化为一般方程mX+3Y+3mZ-3m=0
它的法向量为n1（m,3,3m）
xoy坐标面的方程Z=0，法向量为n2(0,0,1)
两平面的夹角是60度，则cos60°=|cos＜n1,n2＞|=|n1*n2|/(√|n1|√|n2|)=|3m|/√(10m^2+9)=1/2
解得m=±3/4
所以，所求平面α的方程为X+4Y+3Z-3=0

追问

m==±3/√26哦，所求平面α的方程为X+√26Y+3Z-3=0 ，还有为什麽m有正负，而答案却唯一呢？

追答

也许是我算错了,过程应该理解了吧！
因为平面的一个法向量它是有方向的，正负只是代表它的不同方向，
而且写出一个法向量就可以写出无数个与之平行的法向量，如n2(0,0,1)，是Z轴上的单位向量，且方向向上，而n3(0,0,-5)也是xoy坐标面的法向量，方向向下，n3=λn2

Answer 2

可设平面的方程为X/a+Y/b+Z/c=1,其中，a,b,c分别是平面α在X,Y,Z轴上的截距
则可设所求平面α的方程为X/3+Y/m+Z/1=1,即为mX+3Y+3mZ-3m=0
且法向量为n=（m,3,3m）
xoy坐标面的方程Z=0，法向量为n2(0,0,1)
两平面的夹角是60度，则cos60°=|cos＜n1,n2＞|=|n1*n2|/(√|n1|√|n2|)=|3m|/√(10m^2+9)=1/2
解得m=3/4
所以，所求平面α的方程为X+4Y+3Z-3=0