Question

已知点F(1,0)，点A是直线L1:x=-1上的动点，过A作直线L2,L1⊥L2,线段AF的垂直平

已知点F(1,0)，点A是直线L1:x=-1上的动点，过A作直线L2,L1⊥L2,线段AF的垂直平分线与L2交于点p.
1，求点p的轨迹C的方程
2。若点M,N是直线L1上两个不同的点，且三角形PMN的内切圆方程为x^2+y^2=1，直线pf的斜率为k，求k/MN的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）设动点p的坐标为（x，y），
由题意得，，
化简得y2=4x，
所以点p的轨迹C的方程为y2=4x．（4分）
（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则点P的坐标为．
由题意可设直线l1的方程为y=k（x-1）（k≠0），
由得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．
△=（2k2+4）2-4k4=16k2+16＞0．
因为直线l1与曲线C于A，B两点，
所以x1+x2=2+，
y1+y2=k（x1+x2-2）=．
所以点P的坐标为．
由题知，直线l2的斜率为，同理可得点的坐标为（1+2k2，-2k）．
当k≠±1时，有，
此时直线PQ的斜率kPQ=．
所以，直线PQ的方程为，
整理得yk2+（x-3）k-y=0．
于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；
当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．
综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．（10分）
（Ⅲ）可求得|EF|=2，
所以△FPQ面积．
当且仅当k=±1时，“=”成立，所以△FPQ面积的最小值为4．（13分）
解析分析：（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），由题意得，由此能求出点M的轨迹C的方程．（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为．由题意可设直线l1的方程为y=k（x-1）（k≠0），由得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．（Ⅲ）题题设能求出|EF|=2，所以△FPQ面积．