Question

解三角形题

在三角形ABC中、abc分别是ABC的对边、cosB/cosC=b/(2a-c)
求B；求sinA+sinC的取值范围.

Answer 1

我用一张纸大致算了算，发现有点复杂，过程有点罗嗦，如果是填空题的话我个人认为应该还有更简单的方法，如果是简答题的话，倒是差不多。说了这么多，就想说：答案仅供参考~~
有正弦定理可以得到：
cosB/cosC=sinB/(2sinA-sinC) 于是有：
2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC 用正弦和定理可得：
2sinAcosB=sin（B+C） 因为A+B+C=180°，所以：
2sinAcosB=sinA 因为sinA不可能等于零，所以 cosB=0.5 得到角B=60°
那么：角A+角C等于120°
之后用和差化积定理可得：sinA+sinC=2sin((A+C)/2)cos((A-C)/2) 而2sin((A+C)/2)=√3，所以：
2sin((A+C)/2)cos((A-C)/2)=√3cos((A-C)/2)；又 (A-C)/2 属于（-60，60）的范围，所以：
0.5 < cos((A-C)/2) ≤ 1，而当且仅当A=C=60°时，等号成立。
所以，综上所述：sinA+sinC 属于（√3/2，√3]，且当三角形ABC为正三角形时，sinA+sinC存在最大值√3。

不知道现在你们的教科书里面有没有要求要掌握 三角积化和差 和 和差化积 公式 ，我们那时候貌似不要求，不过即使没有要求，也建议你可以看一下自己了解一下，对于求解三角的题目会受益匪浅的。就这样了^_^