Question

已知函数F(X)=4X^3-4aX,当0<=X<=1,不等式F(X)的绝对值>1的解集为空集，则实数a的取值范围？

具体步骤

Answer 1

原命即：对任意0<=X<=1，F(X)的绝对值<=1，
即-1<=F(X)<=1，......(*)
1 x=0,（*）成立
此时a∈R
2 0<X<=1，分离a得 （4X^3-1）/4x<=a<=(1+4x^3)/4x
即a=>x^2-1/4x (用单调性) 且 a<=x^2+1/4x（基本不等式）
因为 0<X<=1
所以a=3/4
综上1，2知a=3/4

Answer 2

不等式F(X)的绝对值>1的解集为空集，所说明F(x)的最大值和最小指都在【-1,1】间
f'(x)=12X^2-4a
当a<=0时，f'(x)>=0,则F(X)单调递增，最大值为F(1)=4-4a<=1,F(0)=0>-1,解得a>=3/4，由于a<=o，所以无解
当a>0时，f'(x)=0解得极值为x=√a/3，x=-√a/3，最大值和最小值为两端点值，或者为极值点上的值，故将这四个值全代进去保证-1=<F(x)<=1即可
F(0)=0,
-1=<F(1)=4-4a<=1→3/4=<a<=5/4
-1=<F(√a/3)<=1→→-1=<4/27*(a^3/2)-4/3*(a^3/2)<=1→→a<=9/16*(2^(2/3)),（即9/16乘以4的三次平方根）
-1=<F(-√a/3)<=1→→-1=<-4/27*(a^3/2)+4/3*(a^3/2)<=1→→a<=9/16*(2^(2/3)),
因为3/4<9/16*(2^(2/3))<5/4
所以得3/4=<a<=9/16*(2^(2/3))