Question

尺规作图 正17边形的做法

详细的过程,闲话少说

Answer 1

关于正十七边形的画法（高斯的思路，本人并非有意剽窃^_^）：
<br>有一个定理在这里要用到的：
<br>若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的，
<br>其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。
<br>上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为sqrt(a^2-4b)的线段。
<br>（这一步，大家会画吧？）
<br>而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段。
<br>下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出，同时也就给出了具体的做法。
<br>设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)]>0
<br>a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
<br>则有a+a1=-1,a*a1=-4,即a,a1是方程x^2+x-4=0的根，所以长为|a|和|a1|的线段可以做出。
<br>令b=2[cos(2pai/17)+cos(8pai/17)]>0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]<0
<br>c=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)]>0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0
<br>则有b+b1=a b*b1=-1 c+c1=a1 c*c1=-1
<br>同样道理，长度是|b|,|b1|,|c|,|c1|的线段都可以做出来的。
<br>再有2cos(2pai/17)+2cos(8pai/17)＝b [2cos(2pai/17)]*[2cos(8pai/17)]=c
<br>这样，2cos(2pai/17）是方程x^2-bx+c=0较大的实根,
<br>显然也可以做出来，并且作图的方法上面已经给出来了
<br>
<br>参考资料有作图方法，不过是繁体的，要到查看－编码－繁体中文的模式下才能看到汉字
<br>
<br>参考资料：<a href="http://www.vtsh.tc.edu.tw/~jck/dynamic/heptadecagon.htm" target="_blank">http://www.vtsh.tc.edu.tw/~jck/dynamic/heptadecagon.htm</a>

正十七边形作法：
作者：H.W.Richmond(To construct a regular polygon of seventeen sides)
Mathematische Annalen 67(1909),P.459
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<--mstheme-->步骤一：
给一圆O，作两垂直的直径OA、OB，
作C点使OC＝OB/4，
作D点使∠OCD＝∠OCA/4
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度
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<--mstheme-->步骤二：
作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，
此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆
过F点，此圆交OA直线于G4和G6两点。
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<--mstheme-->步骤三：
过G4作OA垂直线交圆O于P4，
过G6作OA垂直线交圆O于P6，
则以圆O为基准圆，A为正十七边形
之第一顶点，则P4为第四顶点，
则P6为第六顶点。<--mstheme--> <--mstheme--> <--mstheme-->
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正十七边形完成图