Question

数列{an}满足a1=1，已知an=1/(2n-1) 设Tn=

设Tn=a1a2+a2a3+……+ana(n+1)，若Tn≥k恒成立，求k的取值范围

Answer 1

解题思路：先用裂项法求出Tn的表达式，再求出Tn的最小值即可。
∵an=1/(2n-1)
∴ana(n+1)=1/[(2n-1)x(2n+1)] =(1/2)x[1/(2n-1) -1/ (2n+1)]
∴Tn=a1a2+a2a3+……+ana(n+1)=1/(1X3) +1/(3x5)+........+1/[(2n-1)x(2n+1)]
=(1/2)x[1/1 -1/3 +1/3- 1/5 +1/5 -1/7+........+1/(2n-1) -1/(2n+1) ]
=(1/2)x [ 1-1/(2n+1) ]

∴Tn的最小值为1/3
∴ 1/3≥k 即 k的取值范围是（—∞，1/3]

Answer 2

列项法啊，难道裂项法还没有被广大数学朋友们普及?？
Tn=1/1*3+1/3*5+……1/(2n-1)*(2n+1) 因为1/(2n-1)*(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
)

所以原式=1/2[1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+1/7-1/9+……1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2[1-1/(2n+1)]
但无非是最值问题：Tn有最大值，当n无限大时 ，为1/2
Tn有最小值，n只能在自然数中选择，Tn最小值为n=1时，Tn最小值为1/3.
题目的难度就出来了，若Tn≥k恒成立。注意不等号的方向，而且求的是k。 当然最小值是答案。因为如果小于1/2不一定小于1/3.而k小于 三分之一了必然小于二分之一。为什么在这里罗嗦，因为题目中的条件改成“若k≥Tn恒成立”，k的值就是二分之一了。一定要注意题目的措辞变化。
最后答案：K小于等于三分之一