Question

已知a>0,b>0,a+b=1求证：根号下（a+1/2)+根号下（b+1/2)小于等于2

要用均值定理解

Answer 1

证明：令 x =√ (a +1/2),
y =√ (b +1/2).

则 a =x^2 -1/2,
b =y^2 -1/2.

所以 1 =a+b
=x^2 +y^2 -1,
所以 x^2 +y^2 =2.

由均值定理,
2 =x^2 +y^2
≥2xy,

所以 (x +y)^2 =x^2 +y^2 +2xy
≤4.
所以 x +y ≤2. (x, y>0).
即 √ (a +1/2) +√ (b +1/2) ≤2.

= = = = = = = = =
换元法，把根号消去。
注意 x^2 +y^2 ,2xy 和 x+y 之间的关系，以便使用均值定理。

Answer 2

{(√a+1/2)+(√b+1/2)}^2=a+b+1+2√(ab+1/2(a+b)+1/4)=<2+2√(1/4+1/2+1/4)=4
∴√(a+1/2)+√(b+1/2)=<2

Answer 3

根号下a＋1/2+根号下b+1/2)≤2
∴根号下a＋1/2≤1
根号下b＋1/2≤1
∴a+1/2≤1
b+1/2≤1
∵a+b=1
且a+1/2≤1
b+1/2≤1
∴a=1/2，b=1/2
∴根号下（1/2+1/2）+根号下（1/2+1/2）=2