Question

一道线代题，计算行列式

Answer 1

从最后一行开始，每一行减去其上一行，
得到Dn=
1 2 3…n-1 n
1 -1 0… 0 0
0 2 -2 … 0 0
……
0 0 0 … 2-n 0
0 0 0 … n-1 1-n
再从倒数第2列开始，每一列加上其后一列，

例如首先n-1列加上n列得到
1 2 3…n-2 2n-1 n
1 -1 0… 0 0 0
0 2 -2 … 0 0 0
……
0 0 0 … n-2 2-n 0
0 0 0 … 0 0 1-n
再继续n-2列加上n-1列得到
1 2 3…3n-3 2n-1 n
1 -1 0… 0 0 0
0 2 -2 … 0 0 0
……
0 0 0 … 3-n 0 0
0 0 0 … 0 2-n 0
0 0 0 … 0 0 1-n
于是n-1次这样列之间相加之后得到上三角行列式
主对角线以下元素全为零，
而对角线元素分别为(1+n)*n/2，和-1，-2，-3，……，1-n
于是相乘得到行列式的值为
Dn=(-1)^(n-1) *(n-1)! *(1+n)*n/2