Question

下图的结果是怎么算出的 请写出（详细过程）谢谢 紧急求助 （高等数学 ，理工学科）！

Answer 1

如果 y 与 z 不相关，那计算就简单了：
∫√(R²-y²) * dy
设 y = R*sinα，dy = R*cosα*dα，α 的范围变换为 : [-π/2, π/2]
2∫√(R²-y²) * dy
=2∫R*cosα*(R*cosα*dα)
=∫R²*(2cos²α)dα
=∫R²*(1+cos2α)*dα
=∫R²*dα + 1/2*∫R²*cos2α*d(2α)
=[R²α + 1/2*R²*sin2α]|α=-π/2 → π/2
=πR² + 1/2*R²*[sinπ - sin(-π)]
=πR²
设 z = R*tanα，则 dz = R*sec²α*dα。α 的范围为：[-π/4, π/4]
∫dz/(R²+z²)
=∫R*sec²α*dα/[R²*(1+tan²α)]
=∫sec²α*dα/[R*sec²α]
=∫dα/R
=α/R|α=-π/4→π/4
=π/(2R)
所以，上面总的积分：
=(πR²)*[π/(2R)]
=π²R/2

追问

不对吧 😰结果是（π^2 *R）/2

追答

楼主不会看不懂吧！^_^
我的答案是：
π²R/2 难道不等于 (π²R)/2 吗？！

Answer 2

2∫{-R,R} √(R^2-y^2)dy就是圆的面积，等于 Pi*R^2。
事实上
令 y= sin t, 则 √(R^2-y^2)=R*cos t, dy = R*cos t,
2∫{-R,R} √(R^2-y^2)dy =2∫{-Pi/2,Pi/2}R^2(cos t)^2dt
=4*R^2∫{0,Pi/2} (1+cos(2t)/2 dt=R^2*Pi
而
∫{-R,R}1/(R^2+z^2)dz =(1/R) *arctan (z/R)|{-R,R}=Pi/(2R)
所以
原式=（Pi*R^2)*(Pi/2R)=(Pi^2*R)/2