Question

抛物线y=ax2+bx+c（a<0）交x轴于点A（-1，0）、B（3，0），交y轴于点c，顶点为D,以BD为直径的圆M恰好过点C

1.求顶点D的坐标（用a的代数式表示）
2.求抛物线的解析式
3.抛物线上是否存在点P是三角形PBD为直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。

Answer 1

解答提示：1、由于抛物线与X轴交于A，B两点，∴由两根式可设解析式为：y=a﹙x＋1﹚﹙x－3﹚=ax²－2ax－3a，比较原式得：b=－2a，c=－3a，∴D点坐标为：横坐标x=－b／2a=1，∴当x=1代人解析式得纵坐标y=－4a，∴D﹙1，－4a﹚ 2、由D、B坐标根据中点公式得圆心M坐标为：﹙2，－2a﹚，C﹙0，－3a﹚，而MC=MB，∴由距离公式得：2²＋﹙－2a＋3a﹚²=1²＋﹙2a﹚²∴a=±1，但a＜0，∴a=－1,∴抛物线解析式：y=－x²＋2x＋3。 3、由图形可设P点坐标为P﹙m，n﹚，则：n=－m²＋2m＋3∴由上面结论得D点坐标为D﹙1，4﹚， ∴PD²=﹙m－1﹚²＋﹙n－4﹚²，PB²=﹙m－3﹚²＋﹙n－0﹚²，DB²=﹙1－3﹚²＋﹙4－0﹚²=20，∴要分三种情况讨论：①DB是斜边：则：PD²+PB²=DB²=20，无解。②PD是斜边，则：DB²+PB²=PD²，代人解得P点坐标﹙－3／2，－9／4﹚，③PB是斜边，则：DB²+PD²=PB²代人解得：m=1／2,n=15／4