Question

用裂项求和法求解

求数列 1/n(n+2)的前n项的和
希望能有详细过程噢
噢~对~是一样的。。 不过我想问一下,,你们怎么想到1/2[1/n - 1/(n+2)]=1/n(n+2)的呢？我怎么想不到的- -

Answer 1

恩，我们来分析一下规律~
首先，看第一项：a1=1/1×（1+2）=1/3=1/2[1/1-1/（1×2）]
第二项：a2=1/2×﹙2+2﹚＝1/8=1/2[1/2-1/（2+2）]
… … … … … … … … … … … … … …
以此类推，最后一项就是an=1/n×﹙n+2﹚=1/2[1/n-1/﹙n+2)]
那么，sn=1/2(1-1/3)+1/2(1/2-1/4)+1/2(1/3-1/5)+…+1/2(1/n-1/n+2)
=1/2(1+1/2-1/n+1-1/n+2) （打开括号之后全部抵消完了~~）

然后，规律是：求sn=1/n(n+a)(a为常数，一般是正整数~0）=1/a[1/n-1/﹙n+a﹚]~~
大抵意思就是，分子是几，最后裂项出来就乘以几分之一~~
希望能看懂吧，不算复杂，数列里很简单的东西~~

追问

sn=1/2(1-1/3)+1/2(1/2-1/4)+1/2(1/3-1/5)+…+1/2(1/n-1/n+2)
=1/2（1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+…+1/n-1/n+1)

我这样计算,怎么觉得毫无规律的,,,不知道哪些可以抵消、哪些不可以抵消呀?

拜托了，我数学比较差，嘻嘻。

Answer 2

1/n(n+2)=1/2(1/n-1/n+2)

然后你就两两相加就会发现规律了

追问

这两个不是不相等的吗？

追答

你自己再看看 怎么会不一样呢 你把括号里的通分

Answer 3

sn=1/1*3+1/2*4+1/3*5…+1/n(n+2)
=1/2(1-1/3)+1/2(1/2-1/4)+1/2(1/3-1/5)+…+1/2(1/n-1/n+2)

Answer 4

1/2[1/n - 1/(n+2)]=1/n(n+2)(你通分一下就知道是相等的)