Question

设X1>0,Xn+1=3+4/Xn,(x=1,2···),证明X趋向无穷时Xn存在,并求此极限

• 你的回答被采纳后将获得：
• 系统奖励15（财富值+成长值）+难题奖励20（财富值+成长值）

Answer 1

极限是4。
如果x(1)=4, 那么显然极限存在，即为4。

追答

如果x(1)>4, 考察
x(n+1)-x(n), 易说明单调递减，故极限存在，为4。

错了，
如果x(1)>4, 则
x(2)>4, x(3)<4,…

错了，
如果x(1)>4, 则
x(2)4,…

故易说明子数列{x(2k)}是单调递增的，且小于4，故极限存在，可以计算出为4。
而子数列{x(2n+1)}是单调递减的，且大于4，故极限存在，且为4。
故原数列的极限为4.

类似的，针对x(1)>4的情形，也可以说明极限为4。