Question

已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是

A.27 B.16 C.9 D.3

Answer 1

设内切球半径为r，外接球半径为R,R^2=r^2+2r^2=3r^2,得R=√3r。
内切球体积V内=4πr^3/3=1,
外接球体积V外=4πR^3/3=4π（√3r）^3/3=（√3）^3×4πr^3/3=（√3）^3×1
=3√3=3×1.732=5.196
即外接球体积是3√3，即5.196

Answer 2

设正方体棱长 2a
内切球半径 r = a
外接球半径 R 满足如下关系
R^2 = a^2 + a^2 + a^2
R = sqrt(3)r

V/v = (R/r)^3 = 3sqrt(3)

V = 3sqrt(3)

追问

能算出具体的数值吗?

能算出具体的数值吗?

追答

3 sqrt(3) ，就是 3 倍根号 3， 这不就是具体的数值吗....

.....

sorry, 看错了，以为是正方体..... 如果是正四面体

设棱长为 2a,

R/r = 3

V/v = 27

选 A

如图， ABC-D 是正四面体，E, F, H 分别是棱  AB, BC, AD 上的中点

O' 是底面上的中心.  AO' = 2 O'F

 

右图是三角形 ADF 的平面图, DF, AF 分别是两个边长相等的等边三角形上的高

DF=AF, 因此 FAD 是等腰三角形，它两个腰 DF, AF 上的高 AG, DO' 相等，且相交于一点 O, O 在底边 AD 上的高（同时也是中线）FH 上

 

O 是四面体的中心

 

过 H 作 HH' 垂直于 AF, 交 AF 于 H', HH'//DO'

AH =HD ==> AH' = H'O' = O'F

因此 DO' = 2 HH', HH' = 2 OO'

R = DO, r = OO'

R/r = 3