Question

一道初中二次函数题

抛物线y＝ax^2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)B(2,0)与Y轴交于点C，顶点为D，E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与X轴Y轴交于F,G。

（1）在直线EF上求一点H，使三角形CDH周长最小，并求出最小周长；
（2）若点K在X轴的上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，三角形EFK的面积最大？并求出最大的面积。

Answer 1

解答：由E点是C，B中点，由中点公式可得：C点坐标：C﹙0，4﹚，∵A、B两点是抛物线与X轴交点坐标，∴可设抛物线解析式为：y=a﹙x－4﹚﹙x－2﹚,将C点坐标代人得a=－½，∴解析式： y=－½﹙x＋4﹚﹙x－2﹚=－½﹙x＋1﹚²＋9／2∴顶点坐标为D﹙－1，9／2﹚，由CB两点可求CB直线方程：y=－2x＋4，∴可设EF直线方程为：y=1／2x＋d，将E点坐标代人得：d=3／2,∴EF 直线方程：y=1／2x＋3／2,∴令y=0,得：x=－3∴F点坐标：F﹙－3,0﹚∴⑴要是△CDH的周长最短，作法：∵C、B关于FE轴对称，∴只要连接DB，与FE的交点就是H点，且HC=HB，∴最小周长=DB+CD，由DB²=﹙2＋1﹚²＋﹙0－9／2﹚²∴DB=﹙√117﹚／2，由距离公式得：CD=√5／2，周长=DB+CD=﹙√117＋√5﹚／2。⑵设K点坐标为K﹙m，n﹚,过K点作直线平行FE，可设这个直线方程为：y=1／2x＋k，令它与抛物线相切得：－1／2﹙x＋4﹚﹙x－2﹚=1／2x＋k，即：x²＋3x＋2k－8=0，∵相切，∴这个方程有相等实数根，∴判别式=0。解得：k=41／8，∴直线方程y=1／2x＋41／8，∴K点坐标为：﹙－3／2，35／8﹚∴过K点作FE的垂线，垂足为T点，∵KT∥CB，可设KT的直线方程为：y=－2x＋t,将K点坐标代人得：t=11／8，∴两条直线KT与FE的交点可求：﹙－1／20，59／40﹚，由距离公式得：KT=29√5／20，∴△KFE的最大面积=½×EF×KT=½×2√5×29√5／20=29／4
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