Question

级数求和

ns/[(ns)^2-x^2]-1/ns,s和x为常数,求n从1到无穷的和.要有过程.高分.
你的分析很高明,用伽马函数表示的部分,还要用软件验证一下.
答案给出的是近似解,我不知道怎么来的.答案是近似为(x-0.205s)/[2x(s-x)].如果可以的话,能帮我解答一下吗?万分感谢.s和x都是有物理意义的,表示厚度.所以都是正实数.s大于x.

Answer 1

结果要用伽马函数表示。

首先引入双伽马函数ψ(z) = Γ'(z)/Γ(z)，它具有如下的级数表达式：

ψ(1+z) = -γ + Σ z/[n(z+n)]，求和从1到无穷。其中γ是欧拉常数0.577......该函数在除了负整数以外的整个复平面上有定义。

令c = x/s。作一些代数变形后不难发现，等价于求级数 (1/2s) Σ 2c^2/[n(n^2-c^2)] 的和。进一步变形为 -(1/2s) Σ c/[n(n+c)] - c/[n(n-c)]。若c是整数，不难用错项相消的办法求其和。以下只考虑c不是整数的情况。

此时，所求级数也即 -(1/2s) [ψ(1+c) + γ + ψ(1-c) + γ]

利用双伽马函数的余元公式和递推公式：

ψ(1-c) = ψ(c) + π cot(πc)；ψ(1+c) = ψ(c) + 1/c

求得和为 - (1/2s)[2Γ'(c)/Γ(c) + πcot(πc) + 2γ + 1/c]

补充：
我不知道这个近似是怎么来的，不过看起来这个近似拟合得不太接近……