Question

高数函数的极限

问题：当x--->2时，y=x^2---->4。问δ等于多少，使当|x-2|<δ时，|y-4|<0.001?
答案：对ε>0,δ=min{1，ε/5},当|x-2|<δ时，|x^2-4|=|x+2|*|x-2|<5δ=ε

为什么δ=min{1，ε/5}。
x^2-4|=|x+2|*|x-2|<5δ是怎么算的
我看解答上写着1<x<3是为什么？
请帮我解答一下，谢谢

Answer 1

δ和ε一样一般都是指一个很小的数，这个很小的数我们同常选小于等于1，
当|x-2|<δ时，有|x^2-4|=|x+2|*|x-2|<5δ=ε （1）
成立，这个式子中用到了x<3
而x--->2时，当x越来越接近2时，x最终落入到以2为中心的一个小区间
由（1）式得δ=ε/5
因此δ=min{1，ε/5}。
这里为什么限定δ小于等于1呢？当δ≤1时，由|x-2|<δ≤1得1<x<3

追问

你好，看了你的答复这道题我明白了。可是我看到另一题就理解不了了
证明lim1/(x-1)=1,x---->2
证明：|1/(x-1)-1|=|(x-2)/(x-1)|,限制|x-2|小于等于1/2
为什么限制|x-2|小于等于1/2？能帮我解答一下吗谢谢

Answer 2

同学：不怨你不会这道题，这题出的有问题。他应该问两问：
若......|Y-4|＜0.001—（=ε）时，δ=？或ε＞0时δ=？。不然，你按他的答案——δ=1,5δ=5=ε≮0.001.
我只讲一下为什么|x^2-4|＜5δ?
以x＞2的方向向2趋近时，4＜（2+δ)^2＜4+ε 即0＜|Y-4|＜ε(=0.001)
4δ+δ^2＜ε ∵ε ＜1 δ＜1 ∴δ^2＜δ.
4δ+δ^2＜4δ+δ=5δ 令5δ=ε ∴|y-4|=|x^2-4|=|x+2|*|x-2|＜5δ＝ε
这里的δ=ε/5=0.001/5=0.0002 你得0.0003都不可以 ∵4δ+δ^2＞0.001.
下面ε＞0时，x→3时，|Y-4|＜5 δ=ε/5≤1.
∴题目只问|Y-4|＜0.001他的答案就不对了。以上供你参考！

追问

你好，看了你的答复这道题我明白了。可是我看到另一题就理解不了了
证明lim1/(x-1)=1,x---->2
证明：|1/(x-1)-1|=|(x-2)/(x-1)|,限制|x-2|小于等于1/2
为什么限制|x-2|小于等于1/2？能帮我解答一下吗谢谢

追答

这道题你给我的不完整。
题的意思是当你给定的δ≤1/2时，它的函数值趋向极限1，且与极限1的差≤ε（此题经计算ε=1/3）
如下计算：∵|x-2|≤δ(1/2) ε=|1/(x-1)-1|=|(x-2)/(x-1)=|（2+1/2-2）/（2+1/2-1）|=(1/2)/(3/2)=1/3
同时还可以证明：ε=（2+δ-2）/（2+δ-1）=δ/（1+δ）......（1）求他的导数：
ε’=（1+δ-δ)/（1+δ)^2=1/(1+δ)^2＞0 ∴ε是增函数，随δ的增大而增大；随δ的减小而减小。这就说明当δ无限小时，ε无限小。因此，当x→2时，1/（ x-1）的极限是1。
做极限的题，指导思想就是当x→A时，给定的δ限定小，[f(x+δ）-A]＜ε （某以限定的值）时；
A既是f(x)的极限.
不知你明白了吗？不懂可以继续问。

追问

原题是这样的：用ε、δ语言证明：lim1/(x-1)=1
x->2
证明：|1/(x-1)-1|=|(x-2)/(x-1)|,在x-->2的过程中，x只在2的附近取值，为使|1/(x-1)|有界限制|x-2|小于等于1/2，于是，|x-1|大于等于1/2,|(x-2)/(x-1)|小于等于2|(x-2)|，因此δ=min{1/2,ε/2},于是
|1/(x-1)-1|=|(x-2)/(x-1)|小于等于2|x-2|<ε.所以lim1/(x-1)=1这道题我就是不懂为什么证明里限制|x-2|小于等于1/2

追答

如题所述|1/（x-1)|=|(x-2)/(x-1)|≤2|x-2|＜ε.(这些是如何来的，你懂吗？）所以lim1/(x-1)=1
限制|x-2|≤1/2是人为给定的数，此时的ε≤1 若.0＜ε＜1的任何数时，|x-2|≤ε/2的数都可以。