Question

求函数y=(x-1)*(x-2)^2* (x-3)^3*(x-4)^4的拐点，求详细解题方法。我使用对数法求了两次导数，感觉很牵强

哪位知道这道题的详细接法，请帮帮忙，谢谢
这是今年考研数一第一题，请不要再告诉我使用计算机来解答，希望能有人真正的帮上忙

Answer 1

楼主你好，这是一道选择题，如果用各位的解题方法考研就要悲剧了，这个题很简单，这个函数图象很容易大致画出来，看图就可以了，我用系统自带的画图软件画一张附上，要是看不到楼主你留个邮箱，我发给你。数学一140+飘过

    首先，说说图是怎么画的，这种幂相乘连续函数，一笔就可以画完，在数轴上找到0点，有1，2,3,4,四个点，取X趋向无穷大时，显然y是无穷大，所以由x=4的右方开始画，x=1,2,3,4时，Y=0，所以用光滑曲线向点（4,0）画，不穿过（因为x-4是4次幂，领域内符号相同，且对称）如图示，同理，遇偶数幂不穿过，遇到奇数幂则穿过（x-3是奇数幂，领域符号不同大小相同），注意画图时尽量画光滑，为第二步做准备，我用鼠标画的，画的不好，你可以用笔画

    第二部，看图做题即可，拐点就是凹凸不同的分隔点，显然图中的偶点是不可能的，因为左右对称，领域内凹凸性肯定一样，再观察图形显然x=3是拐点

    就这么简单，这个题我一分钟都没用就搞定了，数学想拿高分小题很重要，做小题很有技的，希望楼主加油，有什么疑问可以继续问我 

补充回答：你好， HKRichest，    一个题出成选择题自有出城小题的道理，这个题出成大题有意义吗？求几次导数而已，大题是不会这样出的，求导谁不会啊，计算量而已，我相信楼主不是要你告诉他怎么一步一步求导，关于你写的这两个，第一个x=-2是拐点，第二个是x=b，有问题吗？    如果想考高分，就应该什么样的题用什么样的方法，用大题的方法做小题，是不合适的（当然，如果只有一个途径除外），考研分数又怎么上去呢？谢谢，仅作讨论，不伤和气

Answer 2

首先，大致画出图形，这个图形很容易画，四个零点，x=1,2,3,4。分段确定大致图形的位置，x<1的时候，y>0，且这一区段为减函数，故没有拐点。1<x<2时，y<0,x=1,2时y=0,故1和2之间必有一个拐点，这个拐点位置至于前两项有关，令y1=(x-1)*(x-2)^2，一次求导使得y1'=0可得拐点为x1=5/3；现在找第二个拐点，2<x<3时，y<0，故第二个拐点为x2=2；同时可知x=2和x=3之间存在一个拐点，这一区间只与中间两项有关系，设y2=(x-2)^2* (x-3)^3,一次求导使得y2'=0即可得出x3=12/5；接下来是3<x<4区间，这一区间y>0，y的增减与最后两项有关，令y3= (x-3)^3*(x-4)^4，一次求导使得y4'=0可得拐点为x4=24/7；最后因为x>4时y>0，3<x<4区间y>0，故x5=4为最后一个拐点。

五个拐点为：

x1=5/3；

x2=2；

x3=12/5；

x4=24/7；

x5=4。

另外，附上自己画的草图：

Answer 3

高次函数有个奇穿偶折的原则，就是当某个零点的根对应的多项式的指数是奇数的话，函数就折过去，偶数的话就穿过去，所以拐点是2、4。另附一张草图吧！

Answer 4

y(x)=(x-1)*(x-2)^2* (x-3)^3*(x-4)^4
函数的二阶导数为零，且三阶导数不为零时，这点即为函数的拐点
考虑(x-3)^3
设P(x)=(x-1)*(x-2)^2*(x-4)^4
y(x)=[(x-3)^3]*P(x)
y'(x)=3(x-3)^2*P(x)+[(x-3)^3]*P'(x)
y"(x)=6(x-3)P(x)+3(x-3)^2*P'(x)+{[(x-3)^3]*P'(x)}'; y"(3)=0
y"'(x)=6P(x)+6(x-3)P'(x)+[3(x-3)^2*P'(x)]'+{[(x-3)^3]*P'(x)}",y"'(3)=6P(3)不为零
x=3即为函数的拐点
考虑(x-4)^4
w(x)=(x-4)^4
w'(x)=4(x-4)^3
w"(x)=12(x-4)^2, w"(4)=0
w"'(x)=24(x-4), w"'(4)=0, x=4 不为函数的拐点

Answer 5

首先要说xuke1123的是，楼主出的是一个解答题，注意是解答题（要有详细解答步骤那种），楼主想知道一个详细的比较好的解题方法。而不是投机取巧的“巧妙方法”。这类书上或试卷上是选择题如果遇到它以解答题出现如何做？显然xuke1123，不能做死题，妙解只是针对特殊性题，顺便说一下，你给的图形绝对有问题，这是一个10次多项式。
楼主的初衷，要的是方法，题目换成x(x-5)^2(x+2)^3(x-7)^4或者x^2(x-a)^2(x-b)^3(x-c)^4呢？

最容易理解的方法：

令a=x-1,b=(x-2)^2,c=(x-3)^3,d=(x-4)^4
a'=1,a''=0,a'''=0
b'=2(x-2),b''=2,b'''=0
c'=3(x-3)^2,c''=6(x-3),c'''=6
d'=4(x-4)^3,d''=12(x-4)^2,d'''=24(x-4)
y=abcd
y'=a'bcd+ab'cd+abc'd+abcd'
y''=a''bcd+a'b'cd+a'bc'd+a'bcd'
+a'b'cd+ab''cd+ab'c'd+ab'cd'
+a'bc'd+ab'c'd+abc''d+abc'd'
+a'bcd'+ab'cd'+abc'd'+abcd''
c,c',c''的公因子是(x-3)
d,d',d''的公因子是(x-4)^2
所以得到y''的16项都含有(x-3)(x-4)^2,这16项都是8次单项式（y10次，y'9次，y''8次）
不妨令y''=(x-3)(x-4)^2g(x),其中g(x)为关于x的5次多项式
（设g(x)为关于x的5次多项式，y''=(x-3)(x-4)^2g(x)也可,此处能理解便可）
y''=0=>x=3或x=4
y'''=[(x-3)(x-4)^2g(x)]'
=(x-4)^2g(x)+2(x-3)(x-4)g(x)+(x-3)(x-4)^2g'(x)
=(x-4)[(x-4)g(x)+2(x-3)g(x)+(x-3)(x-4)g'(x)]
=0
=>x=4
求函数y=(x-1)*(x-2)^2* (x-3)^3*(x-4)^4的拐点,即使函数二阶导数为零，且三阶导数不为零的x的值,为x=3。
有疑问可以问我