Question

线性代数 中，计算2N阶行列式，求详细证明

Answer 1

前n行的-c/a倍，加到下面n行上，左下角c全变成0，右边d变成d - bc/a，D成了上三角形，行列式等于(ad-bc)^n。

把第2n列和前面2n-2列依次交换，最终交换到第2列，同理把第2n行交换到第2行，那么行列式的左下角、右上角都是0，前面2行2列是ad-bc，右下角的2n-2阶行列式就是D(2n-2)，这样有Dn＝(ad-bc)×D(2n-2)。

做法用的是拉普拉斯(Laplace)定理：

在一个n阶行列式D中任意选定k行(1≤k≤k-1)，由这k行元素组成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D。这个定理在《高等代数》中有，但是在《线性代数》中已经不作要求了，教材上也没有。

Answer 2

1楼已经给出了做法，你同学的做法用的是拉普拉斯(Laplace)定理：在一个n阶行列式D中任意选定k行(1≤k≤k-1)，由这k行元素组成的一切k阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式D。这个定理在《高等代数》中有，但是在《线性代数》中已经不作要求了，教材上也没有。
要得到递推公式，也可以这样来做。把第2n列和前面2n-2列依次交换，最终交换到第2列，同理把第2n行交换到第2行，那么行列式的左下角、右上角都是0，前面2行2列是ad-bc，右下角的2n-2阶行列式就是D(2n-2)，这样有Dn＝(ad-bc)×D(2n-2)

追问

谢谢你的解释，另外 请问下考研自学线性代数用哪本教材比较好呀？

追答

使用范围比较广的是同济大学版的《线性代数》，高教出版社，最新版可能是第五版了吧，网络上也可以搜到习题解答。另外清华大学的居余马的线性代数也很经典。

Answer 3

前n行的-c/a倍，加到下面n行上，左下角c全变成0，右边d变成d - bc/a，D成了上三角形，行列式等于(ad-bc)^n

追问

我同学说把中间的部分看成整体，为D(2n-2).这样Dn就变成了一个3*3矩阵，四个角上是a b c d ,于是Dn=（ad-bc）*D(2n-2)，这是为什么呢？？