Question

求线性方程组的通解 请写下过程谢谢！

Answer 1

因为这里书写不便，故将我的答案做成图像贴于下方，谨供楼主参考（若图像显示过小，点击图片可放大）

Answer 2

方程组的通解为：
x_1=4-t，x_2=2/3，x_3=t，x_4=-7/3-2t（t为任意常数）
理由如下：
第二个方程减去第一个方程得到：
（1）2x_2+2x_3+x_4=-1
第三个方程减去第一、第二个方程的和，得到：
（2）3x_2=2，即x_2=2/3
第四个方程减去第二、第三个方程的和，得到：
（3）-6x_2-6x_3-3x_4=3，即：
2x_2+2x_3+x_4=-1，与方程（1）相同
将（2）代入（1）得到：2x_3+x_4=-7/3
所以令x_3=t倒代回去即可解出x_4，x_1，从而得到前述的通解。

追问

请问线代的方法 解出基础解系。。。

追答

通解为(x_1,x_2,x_3,x_4)=(4-t,2/3,t,-7/3-2t)=(4,2/3,0,-7/3)+t(-1,0,1,-2)
所以，基础解系为(4,2/3,0,-7/3)是特解，(-1,0,1,-2)为对应齐次方程组的通解生成元。

追问

增广矩阵我化出来是
1 2 3 1 3
0 1 -2 -1 3
0 0 6 3 -7
0 0 0 0 0
x4为自由变量，取1算出来基础解系(53/3,22/3,5/3,1)T 特解为(-25/6,16/3,-7/6,0)T
但答案是k（1，0，-1，2）T+（31/6,2/3,-7/6,0）T
请问我错在哪里了QAQ

追答

你的增广矩阵计算错误，实际上，增广矩阵的化简是：
1 2 3 1 3 1 2 3 1 3
1 4 5 2 2 →→0 2 2 1 -1
2 9 8 3 7 0 3 0 0 2
3 7 7 2 12 0 0 0 0 0
这只要第一行不变，第一行乘-1加到第二行，第三行分别减去第一、第二行，第四行分别减去第二、第三行，然后将新的第二行乘3加到第四行即可。

追问

我基础解系算错了 应该是（17/3,2/3,-5/3,1）T 按照李永乐书里来说 不应该是化成阶梯矩形然后取非梯脚的为自由变量吗？ 那么不应该取X4为自由变量 算当X4=1时的解为基础，x4=0时的解为特解吗？？ 我不明白 自由变量的取法了。。

追答

我没用过李的书，不过按照基础解系的定义，你那样取是正确的，由于你增广矩阵计算错误，所以跟着基础解系也就算错了。

Answer 3

写成矩阵，求逆，就可以解出来
x1 =31/6,x2 =2/3,x3 =-7/6,x4=0

Answer 4

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