Question

圆C:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C:x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则1/a2+1/b2的最小

圆C:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C:x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则1/a2+1/b2的最小值为
A. 2
B. 4
C. 8
D. 9

需要解题过程

Answer 1

答案：最小值9，选D

解：先对两圆方程式配方
x²+y²-4by-1+4b²=0
x²+(y²-4by+4b²)=1
x²+(y-2b)²=1²
所以此圆是以（0，2b）为圆心，1为半径的圆

x²+y²+2ax+a²-4=0
(x²+2ax+a²)+y²=4
(x+a)²+y²=2²
所以此圆是以（-a，0）为圆心，2为半径的圆

因为两圆恰有一条公切线，
所以易知两圆内切
所以 两圆圆心距=两圆半径之差的绝对值

即√【[0-(-a)]²+(2b-0)²】=|2-1|
√(a²+4b²)=1
a²+4b²=1

于是题目变成了我们熟悉的“已知a²+4b²=1，求1/a²+1/b²的最小值”
把a²+4b²=1代入1/a²+1/b²得
1/a²+1/b²
=(a²+4b²)/a²+(a²+4b²)/b²
=5+(b²/a²)+(4a²/b²)
≥5+2√【(b²/a²)•(4a²/b²)】
=9

所以最小值为9，选D
【希望对你有帮助】

【备注：1）均值不等式a+b≥2√ab，仅当a=b时取最小值
2）两圆外离，有4条公切线（2条外公切线，2条内公切线）
两圆外切，有3条公切线（2条外公切线，1条内公切线）
两圆相交，有2条公切线（2条外公切线）
两圆内切，有1条公切线（1条外公切线）
两圆内含，有0条公切线】