Question

在三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，G、H分别为DE、EF的中点，求S三角形GEH：S三角形ABC

Answer 1

D、E、F分别是AB、BC、AC的中点
DF = 1/2 BC
G、H分别为DE、EF的中点
GH = 1/2 DF = 1/4 BC
三角形GEH 与 三角形ABC 相似
S三角形GEH：S三角形ABC = (GH : BC)^2 = 1/16

Answer 2

先用海伦公式算出面积，p=(a+b+c)/2=9,S△ABC=√p(p-a)(p-b)(p-c)=6√6
连结内心O与三顶点A、B、C，分成三个小三角形，分别求面积再相加，
得S△ABC=(a+b+c)r/2,r=2√6/3,即为内切圆半径。

Answer 3

连接DF
因为G,H为中点，所以GH=0.5DF
有因为D,F为中点，所以DF=0.5BC
所以GH=0.25BC
又因为D,E,F为中点，所以EF//AB,DE//AC
所以平行四边形ADEF
所以角A=角DEF
同理可证得角EGH=角C，角EHG=角B
所以三角形EGH相似于三角形ABC