Question

已知抛物线Y=AX^2+bx+c(a不等于0)的顶点坐标为Q（2，-1），且与Y轴交于点C（0，3）与X轴交于A，B两点。

点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD‖Y轴，交AC与点D。
（1）求该抛物线的函数关系式
（2）当△APD是直角三角形时，求点P的坐标
（3）在问题（2）的结论下，若点B在X轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A，P，E，F为顶点的平行四边形？若存在，求出F的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

1）根据y轴交点(x=0)坐标有：c=3
又根据顶点坐标有：4a+2b+3=-1 -b/2a=2
解得：a=1 b=-4
2）首先求得抛物线与x轴的两个交点：A(1,0) B(3,0)[此处我直接取A点为左侧点，如果为右侧点计算原理相同，楼主可参照下文自行推导，过程从略]
那么得到直线AC方程：y=-3x+3
设P坐标(m,n)，那么有D坐标(m,-3m+3)
若△APD为Rt△，由于∠D始终不为直角；当∠P为直角时，P位于A点或B点，不符题意；所以有且仅有∠A为直角，即直线PA⊥AD。
AD斜率(即AC斜率)为-3，所以PA斜率为1/3，即(n-0)/(m-1)=1/3
又因为P点位于抛物线上，所以其坐标满足y=x²-4x+3，即m²-4m+3=n
联立以上方程解得：m=1,n=0(即A点坐标，不符题意，舍去)或者m=10/3,n=7/9
所以P坐标为：(10/3, 7/9)
3）楼主题目不对哦！没有说明E点坐标？